Օպտիմալ ռեսուրսների բաշխման տեսությունն է էությունը։ Ռեսուրսների օպտիմալ տեղաբաշխման տեսության փիլիսոփայական և մեթոդական նշանակությունը. Լ.Վ.-ի կյանքի, գործունեության, ներդրման, գիտության, տնտեսական և մաթեմատիկական տեսությունների առանձնահատկությունները. Կանտորովիչ. սկզբնական փուլի վերլուծություն

«1937 թվականին Վ.Ի. Լ.Վ.Կանտորովիչ. Այս նոր պաշտոնի հետ կապված էին մեծ փոփոխություններ նրա ողջ կյանքի ընթացքում։ Ամեն ինչ սկսվեց արտադրության աշխատողներին տրված սովորական գիտական ​​խորհուրդներից:

1938 թվականին Կանտորովիչին դիմեցին Plywood Trust-ի աշխատակիցները, որոնք ուսումնասիրում էին արտադրական օբյեկտների ծանրաբեռնվածությունը մեծացնելու ուղիները։ Ըստ մաթեմատիկական դասակարգման՝ նրանք ունեին էքստրեմալ խնդիր՝ մեծ թվով փոփոխականների ինչ-որ պարզ ֆունկցիայի առավելագույնի խնդիր։ Խորհրդակցելով նրանց՝ Լեոնիդ Վիտալևիչը անմիջապես տեսավ (հեշտ է), որ այս խնդրի լուծման դասական մեթոդները չեն կարող տալ. արդյունավետ լուծում. Նա մշակել և առաջարկել է նոր, ավելի արդյունավետ մեթոդ։ Նրա մեթոդի հիմքը հատուկ մեծությունների (բազմապատկիչների) օգտագործումն էր՝ ընդհանրացնելով մաթեմատիկայի հայտնի գործոնները. Լագրանժ. Բայց խորհրդատվական խնդիրն ինքնին միայն խթան էր հետազոտության համար: Կանտորովիչ սկսեց մտածել նմանատիպ իրավիճակների մասին և շուտով տեսավ նման մոդելների և նման մեթոդների բազմաթիվ կիրառություններ տարբեր տնտեսական և տեխնիկատնտեսական իրավիճակներում: Վերլուծելով այս մոդելներում նշված գործոնների հատկությունները, նա ուշագրավ անալոգիաներ արեց գործոնների և տնտեսական ցուցանիշները, կոնկրետ մոդելներին հատուկ, մի տեսակ «ներքին գներ». տնտեսական իրավիճակներ, նույնիսկ այն իրավիճակներում, երբ գներ չկային։ Հետաքրքիր է, որ լենինգրադցի տնտեսագետ Վիկտոր Վալենտինովիչ Նովոժիլովը (1892-1970) նմանատիպ եզրակացությունների (առանց մաթեմատիկական մոդելների օգտագործման) հանգեց մոտավորապես նույն ժամանակ։

Ես կփորձեմ բացատրել, թե ինչ կարող էր անել տնտեսագիտության մեջ մի մաթեմատիկոս, ով նույնիսկ չգիտեր ճիշտ (և սարսափելի, իմ կարծիքով) տնտեսական լեզուն։ Սկսենք գործնական հարցից, մեկը, որ Կանտորովիչն ինքն իրեն տվեց. Ձեռնարկությունը կարող է մեծացնել իր արտադրանքի թողարկումը՝ միաժամանակ ավելացնելով ինքնարժեքը (այսինքն՝ արտադրանքի մեկ միավորի արժեքը): Արդյո՞ք ձեռնտու է դա անել, և եթե այո, ապա որքանո՞վ: Խորհրդային տնտեսագիտական ​​գիտությունն ու պրակտիկան այս հարցին բացասական պատասխան տվեցին՝ ոչ մի դեպքում։

Ինչպե՞ս պատասխանեց Կանտորովիչը այս հարցին։ Եթե ​​շուկային անհրաժեշտ է տվյալ ապրանքը և դրա համար վճարում է ավելի շատ, քան տվյալ ձեռնարկության ինքնարժեքը, ապա արտադրանքի աճը ձեռնտու է, հակառակ այն ժամանակվա տնտեսական տեսակետներին։ Ապրանքի պահանջարկի չափը սահմանում է դրա սահմանային («սահմանային») գինը և դրա համապատասխան սահմանային արժեքը: Շահավետ է ցանկացած արտադրություն, որի ինքնարժեքը պակաս է այս սահմանից։ Հիմա սա ակնհայտ է և տարրական (եթե քննարկման մեջ ներառված չեն ավելի բարդ գործոններ):

IN Խորհրդային ժամանակներ«շուկայական փաստարկները» հակացուցված էին, իսկ «մարգինալ» (կամ «մարգինալ») բառն արգելված էր։ Բացի այդ, արտադրանքի ծավալը թելադրվում էր պլանով, և խորհուրդ չի տրվում այն ​​կապել շահութաբերության հետ։ Բայց նույնիսկ նման իրավիճակում դուք կարող եք հոգ տանել արդյունավետության մասին: Պատկերացրեք, որ այս ապրանքը արտադրվում է մի քանի ձեռնարկությունների կողմից, և դրանց արժեքը տարբեր է և կախված է արտադրանքի ծավալից։ Եվ այս դեպքում կա ինքնարժեքի սահմանային արժեքը, որը որոշում է արդյունավետ արտադրանքի ծավալները. ոչ մի ձեռնարկություն չպետք է ունենա այս սահմանային արժեքը գերազանցող հիմնական ինքնարժեք, իսկ ավելի ցածր ինքնարժեքով ձեռնարկությունն արտադրում է արտադրանք միայն այն ժամանակ, երբ աճում է իր արտադրանքը: անհնար է. Սա, իհարկե, այս հարցերից ամենապարզն է։ Բայց դրա մեջ արդեն հայտնվում է մի նոր կարևոր ցուցանիշ՝ արտադրության սահմանային ինքնարժեքը։ Ամեն ինչ այս թվերի մասին է: Կանտորովիչը պարզեց, որ նման օժանդակ ցուցանիշներն առաջանում են շատ դեպքերում, երբ սահմանափակ ռեսուրսները պետք է բաժանվեն: Դրանք առաջանում են խնդրի մաթեմատիկական վերլուծությունից, բայց պարզվում է, որ դրանք շատ օգտակար են գործնական իրավիճակի տնտեսական ուսումնասիրության համար, քանի որ նրանց միշտ կարելի է տալ հստակ (թեկուզ անսովոր) տնտեսական նշանակություն:

Կանտորովիչի դիտարկած իրավիճակներից մեկը տրանսպորտի խնդիրն է։ Այն պետք է որոշի, թե որտեղ, որտեղ և որքան պետք է տանել, եթե տրված են համասեռ արտադրանքի արտադրության և սպառման հավասարակշռված ծավալներ: Առաջացող ցուցանիշները մեկնաբանվում են որպես ապրանքի տրանսպորտային գներ ցանցի բոլոր կետերում, և փոխադրումը գնում է միայն այն ուղղություններով, որտեղ փոխադրման արժեքը հավասար է նշանակման և մեկնման կետերում նշված գների տարբերությանը և ինքնարժեքին: ոչ մի տեղ այս տարբերությունից պակաս չի լինի՝ գներն այդպես են դասավորվում։ Ստացված տրանսպորտի գները կախված են կոնկրետ առաջադրանքից: Դրանք կապված չեն արտադրության պայմանների հետ, այլ ասում են տնտեսագետին, թե տվյալ պահանջարկի և ծախսերի որոշակի փաթեթի համար որտեղ է ձեռնտու մեծացնել արտադրությունը, և որտեղ է ցանկալի նվազեցնել։

1939-ի մայիսին Կանտորովիչը համալսարանում զեկույց ներկայացրեց իր արդյունքների մասին, և Լենինգրադի պետական ​​համալսարանի հրատարակչությունը զարմանալի արագությամբ հրատարակեց այս զեկույցը որպես առանձին բրոշյուր նույն տարվա աշնանը։ Գրեթե անմիջապես Կանտորովիչը սկսեց աշխատել իր տեսության մանրամասն ներկայացման վրա։ Այս աշխատանքը շարունակվեց պատերազմի ժամանակ։ […]

Լեոնիդ Վիտալիևիչը վստահեցրել է, որ Մոսկվայում ԽՍՀՄ Պետպլանավորման կոմիտեում հանդիպում է կազմակերպվել, որտեղ նա ներկայացրել է իր գաղափարները, սակայն այս հանդիպման բացասական արդյունքը կանխորոշված ​​է եղել։ Կանտորովիչը հիշեց. «Ամեն ինչ ցույց էր տալիս, որ պետք է որոշակի ժամանակ թողնել այդ աշխատանքները։ Դրանց շարունակությունը վտանգավոր դարձավ, - ինչպես հետո իմացա, իմ ենթադրություններն անհիմն չէին։ Լրջորեն քննարկվում էր իմ մեկուսացման տարբերակը։

Ռազումովսկի Ի.Վ., Լ.Վ. Կանտորովիչ. «Ողջամիտ ընդհանրացումը տալիս է ավելին, քան մանրամասն ուսումնասիրությունը, շաբաթ. Համալսարանի հայտնի ուսանողներ. Էսսեներ Սանկտ Պետերբուրգի համալսարանի կենդանիների մասին, հատոր 3, Սանկտ Պետերբուրգ, «Հանրահայտ համալսարանական ուսանողներ», 2005, էջ. 461-462 թթ.

Լ.Վ. Կանտորովիչը՝ տնտեսագետ, ակնառու ներդրում է ունեցել տնտեսագիտության մեջ։ Նրա անունը կապված է պլանավորման խնդիրների լայն շրջանակի ուսումնասիրության բնական-գիտական ​​մոտեցման հետ: Լ.Վ. Կանտորովիչը հիմք դրեց ժամանակակից տեսությունօպտիմալ պլանավորում. Այս տեսության հիմնական գաղափարների մանրամասն ներկայացումը նվիրված է նրա հիմնական մենագրությանը «Ռեսուրսների լավագույն օգտագործման տնտեսական հաշվարկ» . Այս գրքի առանցքը արտադրության պլանավորման հիմնական խնդրի և օպտիմալ պլանավորման դինամիկ խնդրի ձևակերպումն է: Այս առաջադրանքները բավականին պարզ են, բայց միևնույն ժամանակ հաշվի են առնում տնտեսական պլանավորման կարևորագույն հատկանիշները։ Գրավիչ հատկություններից մեկն այն է, որ դրանք հիմնված են գծային ծրագրավորման սխեմայի և, հետևաբար, զարգացած վերլուծական ապարատի և արդյունավետ հաշվողական գործիքների լայն փաթեթի վրա, որոնցից մի քանիսն առաջարկել է անձամբ Լեոնիդ Վիտալևիչը:

Նրա ներդրումը գնագոյացման հարցում զգալի է՝ հիմնարարներից մեկը, որն ազդում է, ըստ էության, հասարակության գործունեության բոլոր ոլորտների վրա։ Լ.Վ. Կանտորովիչը կապ հաստատեց գների և սոցիալապես անհրաժեշտ աշխատանքային ծախսերի միջև։ Նա տվել է օպտիմալ, օպտիմալ զարգացման հասկացության սահմանումը, մասնավորապես նշելով, թե ինչ պետք է հասկանալ որպես հասարակության անդամների կարիքների առավելագույն բավարարում։ Պլանի և գների անբաժանելիության վերաբերյալ նրա դիրքորոշումից հետևում է սոցիալապես անհրաժեշտ աշխատանքային ծախսերի կախվածությունը հասարակության նպատակներից:

Այսպիսով, հասարակության նպատակները, օպտիմալ պլանը և գները մեկ անբաժանելի ամբողջություն են։ Նա նշել է հատուկ պայմաններ, որոնց դեպքում օպտիմալ պլանի օբյեկտիվորեն որոշված ​​գնահատականները համընկնում են ընդհանուր (ուղղակի և հարակից) աշխատանքային ծախսերի հետ: Որոշելով տնտեսության հեռանկարները՝ հսկա «բնական մենաշնորհների» առկայությունը նրանց համար անհրաժեշտ է դարձնում պահպանել թե՛ փոխադարձաբար, թե՛ տնտեսության այլ ճյուղերի շահերի հետ համաձայնեցված առնվազն ռեֆերենս գների հաշվարկը։

Մաթեմատիկական մոդելները արտացոլված են որոշ դասընթացներում քաղաքական տնտ. Լ.Վ.-ի աշխատություններում. Կանտորովիչը ուսումնասիրել է տնտեսական տեսության և կառավարման պրակտիկայի մի շարք հիմնարար խնդիրներ։ Մատնանշելով առկա տնտեսական համակարգի թերությունները՝ Լ.Վ. Կանտորովիչն ընդգծել է, որ տնտեսական ցուցանիշների համակարգը պետք է միասնական լինի՝ կառուցված մեկ սկզբունքով. Այս առումով Լեոնիդ Վիտալիևիչը այս ոլորտում իր աշխատանքի զգալի մասը նվիրել է կոնկրետ տնտեսական ցուցանիշների մշակմանը և վերլուծությանը:

Լ.Վ.-ի աշխատություններում. Կանտորովիչին, հատուկ ուշադրություն է դարձվել հողային ռեսուրսների և ջրային ռեսուրսների գնահատմանը, այդ ցուցանիշների ներառմանը գյուղմթերքի (գնումների) գներում։ Առաջարկվում են դրանց հաշվարկման բնօրինակ մոտեցումներ (նվազագույն քառակուսիների մեթոդի և գծային ծրագրավորման համադրություն): Դրա հիման վրա առաջարկություններ են արվել գյուղատնտեսության մեջ տնտեսական ցուցանիշների և հաշվարկների համակարգի բարելավման ուղղությամբ։ Նրա առաջարկած հաշվարկային սկզբունքների նշանակությունը ձևավորվող տնտեսական համակարգում միայն մեծանում է։

Լ.Վ.-ի աշխատություններում. Կանտորովիչին, բացահայտվում է կապիտալ ներդրումների արդյունավետության ցուցիչի հայեցակարգի էությունը, ցուցադրվում է դրա դերը որոշումների կայացման տնտեսական հաշվարկներում, առաջարկվում է այս ստանդարտ ցուցանիշի արժեքը որոշելու մեթոդ: Այսպիսով, Լ.Վ. Կանտորովիչը համոզիչ գիտական ​​հիմնավորում է տվել արդյունավետության ստանդարտի կիրառման անհրաժեշտության վերաբերյալ և, ելնելով օպտիմալացման մոտեցման վրա, տվել է այն հաշվարկելու օբյեկտիվ եղանակ։

«Ամորտիզացիոն վճարումներ սարքավորումների օպտիմալ օգտագործման համար» աշխատության մեջ (1965) Լ.Վ. Կանտորովիչը բացահայտեց արժեզրկման հայեցակարգի էությունը. Նա ցույց տվեց, թե ինչպես կարելի է բարելավել սարքավորումների օգտագործման արդյունավետությունը՝ ամորտիզացիոն վճարումները բաժանելով երկու տեսակի, և օգտագործելով հնարամիտ մաթեմատիկական մոդելը, նա ցույց տվեց, թե ինչպես կարելի է որոշել մաշվածության դրույքաչափի թվային արժեքը: Այս փոփոխությունը թույլ տվեց մի շարք հիմնարար եզրակացություններ անել մաշվածության հաշվարկման ընդունված մեթոդաբանության ճշգրտման անհրաժեշտության մասին։

Լեոնիդ Վիտալիևիչը հատուկ հետաքրքրություն է ցուցաբերել տրանսպորտի խնդիրների նկատմամբ։ Նույնիսկ նրա առաջին տնտեսական աշխատություններում տրվել է տրանսպորտային խնդրի ընդհանուր վերլուծություն և դրա լուծման պոտենցիալների մեթոդը։ Այս մեթոդը լայնորեն կիրառվում է տրանսպորտում (երկաթուղի, ավտոմոբիլային, ծովային, օդային) և մատակարարման կենտրոնացված գործակալություններում՝ փոխադրումների ռացիոնալ կցման և ռացիոնալ կազմակերպման համար: Այն, անշուշտ, պահպանում է իր կարևորությունն այսօր՝ դիսպետչերական հսկողության և երթուղու հաշվարկների լայնորեն կիրառվող մեթոդների հետ մեկտեղ:

Աշխատանքներում «Նոր սարքավորումների գնագոյացման մեջ մաթեմատիկական մոդելների օգտագործման մասին»(1968) և « Մաթեմատիկական և տնտեսական վերլուծություն պլանավորված որոշումներև դրանց իրականացման տնտեսական պայմանները» (1971) Լ.Վ. Կանտորովիչը ուսումնասիրել է տրանսպորտի արդյունավետ շահագործման խնդիրը տնտեսական տեսանկյունից, ցույց է տվել, թե ինչ սակագներ պետք է լինեն տրանսպորտի տեսակից, բեռներից, հեռավորություններից և այլն։ Մի շարք աշխատանքներում նա դիտարկել է նաև ինտեգրված տրանսպորտի խնդիրները։ համակարգ - տրանսպորտի հարաբերությունը ազգային տնտեսության այլ ոլորտների հետ և տրանսպորտի տեսակների միջև երթևեկության բաշխումը՝ հաշվի առնելով տնտեսությունը և, մասնավորապես, էներգիայի ծախսերը։ Այս աշխատանքները պահպանում են իրենց նշանակությունը մինչ օրս։

Ի հավելումն ազգային տնտեսական պլանավորման խնդիրներին, Լ.Վ. Կանտորովիչը դիտարկել է ոլորտային պլանավորման հետ կապված հարցեր։ Ամենապարզն ու ամենահաճախ օգտագործվողը նրա առաջարկած մոդելն է՝ հիմնված տրանսպորտային խնդրի վրա։ Նա նշել է մի շարք ավելի բարդ մոդելներ, մասնավորապես՝ արտադրություն և տրանսպորտ, դինամիկ, տարրալուծում, ընթացիկ և ապագա ոլորտային պլանավորման աշխատանքներում («Մաթեմատիկական մեթոդների օգտագործման հնարավորությունները արտադրության պլանավորման հարցերում», 1958) և այլն։ արտացոլված են արդյունաբերության ավտոմատացված կառավարման համակարգերի հետազոտության մեջ:

Լեոնիդ Վիտալիևիչը մեծ ուշադրություն է դարձրել աշխատանքի ռացիոնալ օգտագործման հարցերին։ Նրանք առաջարկել են ձեռնարկությունների կողմից վճարումներ մտցնել աշխատուժի օգտագործման համար՝ տարբերակված ըստ մասնագիտության, սեռի, տարիքի և տարածքի։ Նա նաև մատնանշեց սոցիալական խնդիրներին գիտական, քանակական մոտեցման հնարավորությունը, սպասարկման ոլորտի բարելավման հարցերը և այլն։ Աշխատանքային ռեսուրսների ռացիոնալ օգտագործման տնտեսական խթանների հարցերն այսօր արդիական են։

Մի շարք տարիներ և հատկապես վերջին տարիներին Լ.Վ. Կանտորովիչին հետաքրքրում էին տեխնիկական առաջընթացի արդյունավետության խնդիրները, մասնավորապես՝ արտադրության մեջ նոր տեխնոլոգիաների ներդրումը։

Առանձնահատուկ հետաքրքրություն է ներկայացնում սկզբունքորեն նոր ապրանքների թողարկման առաջին տարիներին երկու գնային մակարդակ սահմանելու առաջարկի հիմնավորումը։ Մեծ նշանակություն ունեցավ նաև այն եզրակացությունը, որ անհրաժեշտ է ավելի բարձր գնահատել տեխնիկական առաջընթացի և գիտության ներդրումը ազգային եկամտի մեջ, քան ստացվում էր այն ժամանակ ընդունված հաշվարկման մեթոդներով («Գնագոյացում և տեխնիկական առաջընթաց», 1979 թ.):

Լ.Վ. Կանտորովիչը մեծ ուշադրություն է դարձրել իր մշակած մեթոդների ներդրմանը տնտեսական պրակտիկայում։ Առաջին հերթին, այս առումով, հարկ է նշել նյութերի ռացիոնալ կտրման մեթոդներին նվիրված աշխատանքների ցիկլը, որը սկսել է Լեոնիդ Վիտալևիչը դեռևս 1939 - 1942 թվականներին: 1948 - 1950 թվականներին։ Այս մեթոդները ներդրվել են Եգորովի անվան Լենինգրադի վագոնների գործարանում, Կիրովի գործարանում և այնուհետև տարածվել որոշ այլ ձեռնարկություններում: Ռացիոնալ կտրման մեթոդների ավելի լայն տարածմանը նպաստել են մի շարք ուսումնասիրություններ, որոնք իրականացվել են Լ.Վ. Կանտորովիչի հանդիպումները.

1964 թվականից Լեոնիդ Վիտալևիչի առաջարկով մեծ աշխատանք է տարվել ամբողջ երկրում գլանման գործարանների օպտիմալ ծանրաբեռնվածության հաշվարկման համակարգային մեթոդների ներդրման ուղղությամբ։

Որպես գիտության և տեխնիկայի պետական ​​կոմիտեի անդամ Լ.Վ. Կանտորովիչը լայնածավալ կազմակերպչական աշխատանք է կատարել՝ ուղղված ժողովրդական տնտեսության պլանավորման և կառավարման մեթոդների կատարելագործմանը։ Ղեկավարել է ՍՊՏՀ-ի օպտիմալացման հաշվարկների կիրառման գիտական ​​խորհուրդը, եղել է բազմաթիվ գերատեսչական խորհուրդների և հանձնաժողովների անդամ (գնագոյացման, տրանսպորտի և այլն): Բացառիկ մեծ է Լեոնիդ Վիտալևիչի ներդրումը արտադրության արդյունավետության և, մասնավորապես, կապիտալ ներդրումների արդյունավետության հիմնախնդրի ուսումնասիրության գործում։

Վերացական

Թեմա՝ «Գծային ծրագրավորման մեթոդների կիրառումը Հայաստանում

ռազմական գործեր. Սիմպլեքս մեթոդ»

2-րդ կուրսի կուրսանտ I vzv. 8-րդ ընկերություն

Հեռավոր Արևելքի ռազմական ինստիտուտ

նրանց. Կ.Կ. Ռոկոսովսկին

Վերեշչակ Դմիտրի Վլադիմիրովիչ

ՊԼԱՆ

I. Ինչ է գծային ծրագրավորումը

II. Ռազմական գործերում գծային ծրագրավորման կիրառման հիմնական ուղղությունները

1. Տրանսպորտային (տրանսպորտային) առաջադրանքներ

2. Միջոցների օպտիմալ բաշխման առաջադրանքներ

պարտություն

III. Սիմպլեքս մեթոդ

IV. Եզրակացություն

Ի. ԻՆՉ Է ԳԾԱՅԻՆ ԾՐԱԳՐԱՎՈՐՈՒՄԸ

Ամեն օր, ոչ միշտ դա գիտակցելով, յուրաքանչյուր մարդ լուծում է այն խնդիրը, թե ինչպես կարելի է սահմանափակ միջոցներով ստանալ ամենամեծ ազդեցությունը։

Մեր միջոցներն ու ռեսուրսները միշտ սահմանափակ են։ Կյանքն ավելի քիչ հետաքրքիր կլիներ, եթե չլիներ: Դժվար չէ հաղթել թշնամու 10 անգամ ավելի բանակով. Հաննիբալը, որպեսզի հաղթի հռոմեացիներին Կաննայում, որը ղեկավարում էր բանակի կեսը, ստիպված էր գործել շատ դիտավորյալ:

Առավելագույն արդյունքի հասնելու համար սահմանափակ միջոցներով անհրաժեշտ է կազմել գործողությունների պլան կամ ծրագիր: Նախկինում նման դեպքերում պլանը կազմվում էր «աչքով» (այժմ, սակայն, հաճախ նույնպես)։ 20-րդ դարի կեսերին ստեղծվեց հատուկ մաթեմատիկական ապարատ, որը կօգնի դա անել «ըստ գիտության»: Մաթեմատիկայի համապատասխան ճյուղը կոչվում է մաթեմատիկական ծրագրավորում։ «Ծրագրավորում» բառն այստեղ և նմանատիպ տերմիններով («գծային ծրագրավորում, դինամիկ ծրագրավորում» և այլն) մասամբ պայմանավորված է պատմական թյուրիմացությամբ, մասամբ՝ անգլերենից ոչ ճշգրիտ թարգմանությամբ։ Ռուսերենում ավելի լավ կլիներ օգտագործել «պլանավորում» բառը։ Համակարգչային ծրագրավորման հետ մաթեմատիկական ծրագրավորումն ունի միայն մեկ ընդհանուր բան, որ գործնականում ծագած մաթեմատիկական ծրագրավորման խնդիրների մեծ մասը չափազանց ծանր է ձեռքով հաշվարկելու համար, դրանք կարող են լուծվել միայն համակարգչի օգնությամբ՝ նախապես ծրագիր կազմելով:

Գծային ծրագրավորման ծննդյան ժամանակը համարվում է 1939 թվականը, երբ տպագրվեց Լեոնիդ Վիտալիևիչ Կանտորովիչի «Արտադրության կազմակերպման և պլանավորման մաթեմատիկական մեթոդները» բրոշյուրը։ Քանի որ Լ.Վ. Կանտորովիչի նկարագրած մեթոդները այնքան էլ հարմար չէին ձեռքով հաշվարկելու համար, և այն ժամանակ գերարագ համակարգիչներ գոյություն չունեին, Լ.Վ. Կանտորովիչի աշխատանքը գրեթե աննկատ մնաց:

Գծային ծրագրավորումն իր վերածնունդը ստացել է հիսունականների սկզբին` համակարգիչների հայտնության հետ: Հետո սկսվեց գծային ծրագրավորման ընդհանուր ոգևորությունը, որն իր հերթին առաջացրեց մաթեմատիկական ծրագրավորման այլ բաժինների զարգացում։ 1975 թվականին ակադեմիկոս Լ.Վ.Կանտորովիչը և ամերիկացի պրոֆեսոր Տ.Կուփմանսը Նոբելյան մրցանակ ստացան տնտեսական գիտություններտեսության զարգացման գործում ունեցած ներդրման համար և օպտիմալ օգտագործումըռեսուրսները տնտեսության մեջ։

Այս մրցանակները կոչվել են իրենց հիմնադրի՝ հայտնի քիմիկոս և գյուտարար Ալֆրեդ Նոբելի անունով, դրանք պետք է շնորհվեին ֆիզիկայի, քիմիայի, ֆիզիոլոգիայի կամ բժշկության բնագավառում գիտական ​​հայտնագործությունների, «մարդկային իդեալներն արտացոլող» գրական ստեղծագործությունների համար, ինչպես նաև ով «կնպաստի նշանակալի ներդրումժողովուրդներին համախմբելու, ստրկության վերացման, գոյություն ունեցող բանակների թվաքանակի կրճատման և խաղաղության համաձայնագրի խթանման գործում»: Մրցանակը նախատեսված չէր մաթեմատիկոսների համար։ Այնուամենայնիվ, 1969 թվականին, իր հիմնադրման 300-ամյակի կապակցությամբ, Շվեդական բանկը սահմանեց Նոբելյան հուշամրցանակը տնտեսագիտության ոլորտում։ Այնուհետև 1975 թվականին այն շնորհվել է Լ.Վ.Կանտորովիչին և Տ.Կուփմանսին նոր մաթեմատիկական գիտության ստեղծման համար (որը կոչվում է գծային ծրագրավորում) և այս տեսությունը տնտեսագիտության մեջ կիրառելու համար։

Նոբելյան կոմիտեին ներկայացված իր ինքնակենսագրականում Լեոնիդ Վիտալևիչ Կանտորովիչը պատմում է 1939 թվականին տեղի ունեցած իրադարձությունների մասին։ Նրան՝ մաթեմատիկայի 26-ամյա պրոֆեսորին, խորհրդակցել է glider trust-ի լաբորատոր անձնակազմը, որը պետք է լուծեր մեքենաների միջև նյութի առավել շահավետ բաշխման խնդիրը։ Այս խնդիրը կրճատվել է մինչև գտնելու գծային ֆունկցիայի առավելագույնը, որը տրված է պոլիէդրոնի վրա: Նման ֆունկցիայի առավելագույնը ձեռք է բերվել գագաթում, բայց այս խնդրի գագաթների թիվը հասել է միլիարդի... Հետևաբար, գագաթների պարզ թվարկումը հարմար չէր: Լեոնիդ Վիտալիևիչը գրել է. «Պարզվեց, որ այս առաջադրանքը պատահական չէ: Ես գտա մեծ թվով տարբեր բովանդակության խնդիրներ, որոնք ունեն նմանատիպ մաթեմատիկական բնույթ. լավագույն օգտագործումըակր տարածք, սարքավորումների բեռնման ընտրություն, նյութի ռացիոնալ հատում, երթևեկության հոսքերի բաշխում... Սա ինձ համառորեն մղում էր որոնել արդյունավետ մեթոդնրանց որոշումները»: Եվ արդեն 1939 թվականի ամռանը Լ.Վ.Կանտորովիչի «Արտադրության կազմակերպման և պլանավորման մաթեմատիկական մեթոդները» գիրքը դրվեց տպագրության, որում դրվեցին այն, ինչ այժմ կոչվում է մաթեմատիկական տնտեսագիտություն։

Բայց վերադառնանք 1939 թ. Նրանք ասում են, որ ճշմարտությունը ծնվում է հերետիկոսությամբ, և ավաղ, դա տեղի ունեցավ Լ.Վ.Կանտորովիչի գաղափարների հետ տնտեսագիտության ոլորտում: Նրանք իրենց ստեղծման պահին ըմբռնման չեն հանդիպել, հերետիկոսություն են հայտարարել, և նրա աշխատանքը ընդհատվել է։

Լեոնիդ Վիտալևիչի գաղափարները նորից հայտնաբերվեցին արևմուտքում պատերազմից անմիջապես հետո: Ամերիկացի տնտեսագետ T. Koopmans-ը երկար տարիներ գրավել է մաթեմատիկոսների ուշադրությունը ռազմական թեմաների հետ կապված մի շարք խնդիրների վրա։ Նա ակտիվորեն նպաստել է մաթեմատիկական խմբի կազմակերպմանը այս խնդիրները մշակելու համար: Արդյունքում հասկացվեց, որ անհրաժեշտ է սովորել, թե ինչպես լուծել գծային անհավասարություններով սահմանված բազմանիստ գծային ֆունկցիաների ծայրահեղությունների հայտնաբերման խնդիրները։ Կոոպմանսի առաջարկով մաթեմատիկայի այս ճյուղը կոչվեց գծային ծրագրավորում։

Ամերիկացի մաթեմատիկոս A.Danzig-ը 1947 թվականին մշակել է գծային ծրագրավորման խնդիրների թվային լուծման համար շատ արդյունավետ հատուկ մեթոդ (այն կոչվում էր սիմպլեքս մեթոդ): Գծային ծրագրավորման գաղափարները հինգ կամ վեց տարիների ընթացքում մեծ տարածում գտան աշխարհում, և Կոոպմանսի և Դանցիգի անունները լայնորեն հայտնի դարձան ամենուր։

Մոտավորապես այս ժամանակ Կուպմանսն իմացավ, որ նույնիսկ հեռավոր Ռուսաստանում պատերազմից առաջ արդեն արվել էր գծային ծրագրավորման սկզբի զարգացման նման մի բան: Որքա՜ն հեշտ կլիներ Դանցիգի և Քուփմանսի համար անտեսել այս տեղեկությունը։ Աննշան տպաքանակով լույս տեսած փոքրիկ գիրք՝ ուղղված ոչ թե նույնիսկ տնտեսագետներին, այլ արտադրության կազմակերպիչներին, նվազագույն մաթեմատիկայով, առանց հստակ նկարագրված ալգորիթմների, առանց թեորեմների ապացույցների. հաշիվը ... Բայց Koopmans-ը պնդում է թարգմանել և հրապարակել Վեսթ Կանտորովիչի գրքերում: Նրա անունն ու գաղափարները հայտնի են դառնում բոլորին։ Եկեք հարգանքի տուրք մատուցենք ամերիկացի գիտնականի ազնվականությանը:

Իսկ ինքը՝ Լեոնիդ Վիտալևիչը, որքան բնական կլիներ, որ նա, հետադիմության առաջին սպառնալից հարվածները կրելով, զգուշանալ երիտասարդության «մեղքերից», մոռանալ այս ամբողջ տնտեսագիտության մասին և վերադառնալ մաթեմատիկա։ Բայց Լ.Վ.Կանտորովիչը շարունակում է գրել մաթեմատիկական աշխատություններ՝ ոգեշնչված տնտեսական գաղափարներով և մասնակցում է արտադրության կոնկրետ զարգացումներին։ Միաժամանակ (Դանցիգի հետ միաժամանակ, բայց առանց նրա աշխատանքի մասին իմանալու) նա մշակում է մի մեթոդ, որը հետագայում կոչվեց սիմպլեքս մեթոդ։ Հենց որ 50-ականներին մի փոքր բաց է բացվում, և արգելվածների մի մասը հնարավոր է դառնում, նա կազմակերպում է ուսանողների խումբ Լենինգրադի պետական ​​համալսարանի տնտեսագիտության ֆակուլտետում՝ օպտիմալ պլանավորման մեթոդներ սովորեցնելու համար։ Իսկ 1960 թվականից Լեոնիդ Վիտալիևիչը զբաղվել է միայն տնտեսական և հարակից մաթեմատիկական խնդիրներով։ Նրա ներդրումն այս ոլորտում արժանացել է Լենինյան մրցանակի 1965 թվականին (նրան շնորհվել է Վ. Ս. Նեմչինովի և Վ. Վ. Նովոժիլովի հետ համատեղ) և, ինչպես արդեն նշվել է. Նոբելյան մրցանակ 1975 թվականին։

II .ՌԱԶՄԱԿԱՆ ԳՈՐԾՈՒՆԵՈՒԹՅԱՆ ՄԵՋ ԳԾԱՅԻՆ ԾՐԱԳՐԱՎՈՐՄԱՆ ՕԳՏԱԳՈՐԾՄԱՆ ՀԻՄՆԱԿԱՆ ՈՒՂՂՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԸ.

Բանակում գծային ծրագրավորման ամենատարածված կիրառությունները հետևյալն են.

Տրանսպորտային խնդիր (տրանսպորտային խնդիր)

Ուժերի և միջոցների բաշխման խնդիր (ուժերի և ոչնչացման միջոցների բաշխում ըստ թիրախների, ուժերի և հետախուզության միջոցների բաշխում և այլն)

1. ՏՐԱՆՍՊՈՐՏԱՅԻՆ ԽՆԴԻՐ (ՏՐԱՆՍՊՈՐՏԱՅԻՆ ԽՆԴԻՐ).

Այս խնդիրները պատմականորեն առաջիններից են, որոնք լուծվել են գծային ծրագրավորման միջոցով: Կախված արդյունավետության ընտրված չափանիշից՝ տրանսպորտային առաջադրանքները տարբերվում են վազքով, գնով, ժամանակով, համատեղ վազքի և արժեքի չափորոշիչներով, ճանապարհների և տրանսպորտի թողունակության սահմանափակումներով, ցանցային միջավայրում առաջադրանքներով և այլն:

Եկեք ձևակերպենք ընդհանուր տեսարանԳծային ծրագրավորման տրանսպորտային խնդիրը ծախսերի չափանիշով. Այս խնդիրը կարևոր է, երբ ժամանակը որոշիչ գործոն չէ փոխադրումների կազմակերպման գործում:

Թող լինեն m պահեստներ, որոնցում որոշակի միատարր արտադրանք (վառելիք և քսանյութ, զինամթերք և այլն) կենտրոնացված է համապատասխանաբար և i (i=1,2,…,m) միավորներով։ Այս ապրանքի n սպառող կա համապատասխանաբար b j (j=1,2,…,n) միավորներով: Փորձերի և հաշվարկների հիման վրա հայտնի է, որ ապրանքի մեկ միավորի առաքումը i-րդ պահեստից j-րդ սպառողին արժե ij դրամական միավոր։

c ij բոլոր արժեքները հաստատուն են: Թվարկված նախնական տվյալները զետեղված են աղյուսակ 1-ում:

x ij ³0-ով (i=1,2,…,m; j=1,2,…n) նշանակենք ապրանքի քանակը, որը նախատեսված է i-րդ պահեստից j-րդ սպառողին առաքելու համար: Բնականաբար, եթե x ij =0, ապա ապրանքի առաքում i-րդ պահեստից j-րդ սպառողին չի նախատեսվում։ Բոլոր սպառողների համար մատակարարման պլանը որոշվում է աղյուսակով (մատրիցան).

Աղյուսակ 1.

Պահեստներ	Սպառողներ				Պաշարներ պահեստներում
1
…
Անհրաժեշտություն

Ակնհայտ է, որ կարող են առաջարկվել սպառողներին տրամադրելու մեծ թվով պլաններ (1), սակայն դրանցից որևէ մեկը ընտրելիս պետք է հաշվի առնել հետևյալ պայմանները.

(2)

(3)

Արտահայտությունները (2) որոշում են, որ ցանկացած պահեստից կարելի է վերցնել ոչ ավելի, քան առկա պաշարները: (3) արտահայտությունները նշանակում են, որ յուրաքանչյուր սպառող ամբողջությամբ տրամադրված է իր դիմումին: Ըստ առաջադրանքի իմաստի՝ պետք է բավարարվի հետևյալ պայմանը.

Վերջին արտահայտությունը նշանակում է, որ պահեստներում բավականաչափ պաշարներ կան բոլոր սպառողներին մատակարարելու համար:

Ցանկացած ընտրված պլանի (1) փոխադրման ընդհանուր արժեքը որոշվում է արտահայտությամբ.

(4)

Գծային ծրագրավորման տրանսպորտային խնդիրը ծախսերի չափանիշի նկատմամբ ձևակերպված է հետևյալ կերպ.

Գտեք այնպիսի արժեքներ x ij (այսինքն՝ գտեք փոխադրման նման պլան (1)), բավարարող պայմաններ (2), (3), որոնց դեպքում փոխադրման ընդհանուր արժեքը (4) կլինի նվազագույն:

Մեծ m-ի և n-ի համար այս խնդիրը լուծվում է համակարգչով: Դա անելու համար հարկավոր է մեքենայի մեջ մուտքագրել աղյուսակ 1-ում տեղադրված նախնական տվյալները և օգտագործել մշակված ծրագիրը: Փոքր m-ի և n-ի համար խնդիրը կարող է լուծվել ձեռքով` օգտագործելով լուծման ընդհանուր մեթոդները: m և n-ի մինչև 5-6 արժեքների դեպքում խնդիրը հաճախ կարելի է լուծել հաշվարկների, տարբերակների թվարկման և տրամաբանական արտացոլումների միջոցով:

Առաջադրանք. Կան երեք պահեստներ, որոնք ապահովում են վառելիք և քսանյութ չորս տանկերի կազմավորումների համար: Վառելիքների և քսանյութերի հայտնի պաշարները և միացությունների անհրաժեշտությունը: Յուրաքանչյուր պահեստից ցանկացած միացում մեկ տոննա վառելիքի և քսանյութի առաքման արժեքի որոշում. Բոլոր նախնական տվյալները գրանցված են աղյուսակ 2-ում:

Այս պայմանների համար ձևակերպեք գծային ծրագրավորման խնդիր և որոշեք վառելիքի և քսանյութերի միացումների մատակարարման այնպիսի պլան, որում դրա փոխադրման ընդհանուր արժեքը կլինի նվազագույն:

Լուծում. Նշեք x ij-ով (i=1,2,3; j=1,2,3,4) վառելիքի և քսանյութերի քանակը, որը նախատեսվում է մատակարարել i-րդ պահեստից (i=1,2,3) j-րդ կապը (j=1,2,3,4):

Աղյուսակ 2.

Պահեստներ	Միացումներ				Պահեստներում վառելիքի և քսանյութերի պաշարներ
1
2
Վառելիքի կարիք

Պլանների ընտրությունը կախված է պահեստներում վառելիքի և քսանյութերի պաշարներից և դրանում առկա միացությունների կարիքներից, ինչը մաթեմատիկորեն որոշվում է արտահայտություններով.

(2 1)

(3 1)

Վառելիքի և քսանյութերի փոխադրման ընդհանուր արժեքը որոշվում է գծային արտահայտություններով.

Պահանջվում է որոշել այնպիսի արժեքներ x ij (ընտրել այնպիսի պլան), որը բավարարում է (2 1) և (3 1) արտահայտությունները, որոնք նվազեցնում են արդյունավետության չափանիշը նվազագույնի: Այսպես է ձևակերպվում գծային ծրագրավորման խնդիրը տվյալ պայմանների համար։

Այս խնդիրը լուծվում է տարրական հաշվարկներով և հիմնավորումներով։

Աստղանիշներով սյունակներում նշում ենք մեկ տոննա վառելիքի և քսանյութերի տեղափոխման արժեքի նվազագույն արժեքները: Անհրաժեշտ է պլանավորել առաքում յուրաքանչյուր միացում այն ​​պահեստից, որի համար այս արժեքը կլինի ամենափոքրը կամ դրան մոտ, բայց հաշվի առնելով վառելիքի և քսանյութերի այլ միացումներ հասցնելու ծախսերը: Ակնհայտ է, որ 1-ին և 4-րդ միացումներում նպատակահարմար է վառելիք և քսայուղեր ամբողջությամբ ներկրել 1-ին պահեստից, ուստի նպատակահարմար է ընտրել x 11 =350, x 14 =500: Շահավետ է վառելիքը ամբողջությամբ հասցնել 3-րդ պահեստից երկրորդ միացում։ Բայց հետո նրանք կանեն ծանր ծախսեր 2-րդ պահեստից վառելիքի և քսանյութերի 3-րդ միացում առաքելիս. Հետեւաբար, նպատակահարմար է ընտրել x 13 =50, x 33 =350, այսինքն. 1-ին և 3-րդ պահեստներից վառելիք մտցրեք 3-րդ միացման մեջ, իսկ 2-րդ միացման համար պահեստից բերեք 200 տոննա, x 22 \u003d 200, x 32 \u003d 250: Հաշվարկի արդյունքները թվարկված են Աղյուսակ 2-ում, ըստ որի՝ հարմար է ստուգել պայմանների կատարումը (2 1), (3 1)՝ գտնելով x ij գումարները տողերում և սյունակներում:

Այս պլանով ծախսերը նվազագույն կլինեն.

Համեմատելու համար, թե որքան գումար կարող է խնայվել՝ ընտրելով օպտիմալ պլանը, հաշվի առեք դրանցից մեկը հնարավոր պլաններ:

x 11 = 350, x 12 = 450, x 13 = x 14 = 0, x 21 = x 22 = x 23 = 0,

x 24 = 300, x 31 = x 32 = 0, x 33 = 400, x 34 = 200

Այս դեպքում փոխադրման արժեքը կկազմի.

Այն կազմում է ավելի քան 1950 միավոր K min , ինչը ավելի քան 30% է:

Ստացված օպտիմալ լուծումը հիմք է հանդիսանում վառելիքի և քսայուղերի միացությունների մատակարարման օբյեկտիվ լուծում կիրառելու համար՝ հաշվի առնելով կոնկրետ իրավիճակը:

2. ԶԵՆՔԻ ՕՊՏԻՄՈՒՄ ԲԱՇԽՄՄԱՆ ԽՆԴԻՐ.

Ոչնչացման միջոցների օպտիմալ բաշխման խնդիրները հիմնականում ձևակերպված են հետևյալ կերպ՝ կա ոչնչացման միջոցների և թիրախների որոշակի քանակ։ Պահանջվում է ոչնչացման միջոցները բաշխել թիրախների միջև այնպես, որ օգտագործման ընդհանուր ազդեցությունը որոշակի առումով օպտիմալ լինի։

Հակառակորդի պարտությունը մարտական ​​գործողությունների կարևոր տարրերից է։ Հետևաբար, առաքելությունների հաղթահարման լուծումը կարևոր քայլ է մարտական ​​գործողությունների պլանավորման և կառավարման գործում:

Գոյություն ունեն նպատակների առաջադրման խնդիրների երկու հիմնական տեսակ.

Ոչնչացման միջոցների համար, որոնք գտնվում են պաշտպանական դիրքում.

Հարձակման զենքի համար;

Պաշտպանական զինատեսակների բաշխումն իրականացվում է մարտական ​​գործողությունների ընթացքում, բացահայտվելիք թիրախները և առաջացող պայմանները նախապես հայտնի չեն և մեծապես որոշվում են հակառակորդի կողմից։ Հաշվարկները պետք է շատ արագ կատարվեն, ինչը հնարավոր է ժամանակակից հաշվողական գործիքներով։

Հայտնաբերված թիրախների վրա հարձակման միջոցների բաշխումը հնարավոր է նախապես պլանավորել հաշվարկների հիման վրա։ Այնուամենայնիվ, այս տարբերակների միջև չկա կտրուկ սահման, քանի որ երկու դեպքում էլ բացահայտվում են նոր նպատակներ, փոխվում են պայմանները և կպահանջվեն վերահաշվարկներ:

Ռազմական գործողությունների ընթացքում ոչնչացման միջոցների բաշխման խնդիրը շատ բարդ է և պահանջում է հաշվի առնել բազմաթիվ գործոններ։ Որոշ առանձնահատուկ խնդիրներ հաջողությամբ լուծվում են գծային ծրագրավորման օգնությամբ:

Դիտարկենք այս խնդիրներից առաջինը. Կան ոչնչացման մ տարբեր միջոցներ և n թիրախ: Ընդունված են հետևյալ ենթադրությունները.

Ոչնչացման միջոցների թիվը չի գերազանցում թիրախների քանակը m £ n;

Նպատակները տարբեր նշանակություն ունեն՝ որոշված ​​k j կարևորության գործակցով (j=1,2,…,n);

Յուրաքանչյուր թիրախի չի կարող նշանակվել ոչնչացման մեկից ավելի միջոց, այսինքն՝ պետք է կրակել թիրախների առավելագույն քանակով.

Հայտնի են j-րդ թիրախի i-րդ միջոցին խոցելու p ij հավանականությունները, որոնք կազմում են խոցման հավանականությունների աղյուսակը.

(5)

Պարտության հավանականության աղյուսակը հաշվարկվում է ըստ հրաձգության տեսության համապատասխան բանաձեւերի։

j-րդ թիրախի համար ոչնչացման i-րդ միջոցը ամրագրելը կամ չամրագրելը արտահայտվում է x ij արժեքով, որն ընդունում է 1 արժեքը, երբ կա ֆիքսացիա, և 0, երբ այն չկա:

Միջոցների բաշխման պլանն ըստ նպատակների կորոշվի աղյուսակով (աղյուսակ 1): Արդյունավետության չափանիշի համար ընդհանուր դեպքընտրել ոչնչացված թիրախների քանակի կշռված մաթեմատիկական նկարագրությունը, որը որոշվում է արտահայտությամբ

(6)

որտեղ k j (j=1,2,…,m) գործակիցներն են, որոնք որոշում են նպատակների կարևորությունը: Եթե ​​նպատակները հավասար նշանակություն ունեն, ապա k 1 =k 2 =…=k m =1: Այս արժեքներով արտահայտությունը (6) ոչնչացված թիրախների քանակի մաթեմատիկական ակնկալիքն է: Պահանջը, որ յուրաքանչյուր միջոց վերագրվի ինչ-որ նպատակի, սահմանվում է արտահայտություններով

(i=1,2,…,m) (7)

Պայմանները, որ յուրաքանչյուր թիրախին հատկացվում է ոչ ավելի, քան մեկ ոչնչացման միջոց, որոշվում են արտահայտությամբ

(j=1,2,…,n) (8)

Բոլոր (8) արտահայտություններում հավասար նշանի դեպքում տեղի է ունենում m=n, հակառակ դեպքում m

Գտեք x ij ³0 այնպիսի ամբողջ թվեր (գտեք այնպիսի պլան), որոնք բավարարում են (7) և (8) պայմանները, որոնք արդյունավետության չափանիշը (6) վերածում են առավելագույնի։

Ինչպես տեսնում եք, սա գծային ծրագրավորման խնդիր է, ընդ որում՝ տրանսպորտային տեսակի։ Ի տարբերություն տրանսպորտի խնդրի, այստեղ մենք փնտրում ենք x ij արժեքներ, որոնք ընդունում են միայն երկու հնարավոր արժեք՝ 0 և 1:

Փոքր m-ի և n-ի համար թիրախային բաշխման խնդիրները կարող են լուծվել տարրական հաշվարկներով և հիմնավորումներով։

Առաջադրանք. Հետախուզությունը հայտնաբերել է հակառակորդի երեք համարժեք թիրախ. Նրանց ոչնչացնելու համար հրամանատարությունը ոչնչացման երեք միջոց է հատկացնում. Հայտնի են յուրաքանչյուր թիրախին ցանկացած միջոցով խոցելու հավանականությունը (Աղյուսակ 3):

Աղյուսակ 3

Ոչնչացման միջոցներ				Քանակ պարտություն
1
2
Թիրախների քանակը

Պահանջվում է ձևակերպել գծային ծրագրավորման խնդիր՝ ըստ տվյալ պայմանների մաթեմատիկական ակնկալիքի չափանիշի և որոշել թիրախային բաշխման օպտիմալ պլանը։

Լուծում. Այս խնդրի արդյունավետության չափանիշը (6) բանաձևի համաձայն որոշվում է արտահայտությամբ.

Այստեղ դրվում է k 1 =k 2 =k 3 =1, քանի որ բոլոր գոլերը հավասար են. Խնդրի վիճակի համար (7) և (8) արտահայտությունները նման կլինեն.

(10)

(11)

Գտե՛ք (10) և (11) հավասարումների այնպիսի ամբողջ թվային դրական արմատներ x ij, որոնց համար արդյունավետության չափանիշը (9) կընդունի առավելագույն արժեքը։

Օպտիմալ պլանը որոշելու համար 3-րդ աղյուսակի սյունակներում գտնում ենք առավելագույն հավանականությունները և նշում աստղանիշներով: Ակնհայտ է, որ 3-րդ միջոցը պետք է հատկացվի երկրորդ նպատակին (x 32 = 1): Առաջին միջոցը հավասարապես նպատակահարմար է նշանակել 1-ին կամ 3-րդ գոլին։ Բայց քանի որ 3-րդ գոլի համար առավելագույն հավանականությանը ամենամոտ արժեքը ավելի մեծ է, քան 1-ին, խորհուրդ է տրվում 1-ին նշանակել 1-ին նպատակին (x 11 \u003d 1), իսկ 2-րդը՝ 3-րդ նպատակին ( x23=1):

Հարված թիրախների քանակի մաթեմատիկական ակնկալիքի առավելագույն արժեքը հավասար կլինի.

Օպտիմալ պլանի դեպքում խոցվելու է միջինը երկու թիրախ։ Համեմատության համար դիտարկենք հետևյալ պլանը՝ x 13 =1, x 22 =1 և x 31 =1: Այս պլանով միջին կորուստները կհավասարվեն

Այսպիսով, միայն թիրախների օպտիմալ բաշխման շնորհիվ զենքի արդյունավետությունը կարող է զգալիորեն աճել (այս օրինակում՝ գրեթե երկու անգամ)։ Այս փաստը ոչ միայն տնտեսական նշանակություն ունի, այլեւ բարձրացնում է թիրախին խոցելու առաջադրանքի արդյունավետությունը։

III. ՍԻՄՊԼԵՔՍ-ՄԵԹՈԴ.

Գծային ծրագրավորման խնդրի լուծման պարզ մեթոդ: Թող n գծային հավասարումների համակարգ մ փոփոխականներով (n

(3.22)

Ենթադրենք, որ n-րդ կարգի որոշիչներից, որոնք կարող են կազմվել առաջին n սյունակների գործակիցներից, զրոյական չէ:

Այնուհետև համակարգը (3.22) կարելի է լուծել x 1, x 2, …,x n փոփոխականների նկատմամբ, որոնք, ինչպես նախկինում, կանվանենք հիմնական փոփոխականներ: Համակարգի (3.22) լուծման արդյունքում հիմնական փոփոխականները կարտահայտվեն մնացած x n+1, x n+2, …, x m փոփոխականներով, որոնք կոչվում են ազատ: Ազատ փոփոխականների թիվը k=m-n. Մենք ունենք (3.22) համակարգի լուծումը հետևյալ ձևով.

(3.23)

Ազատ փոփոխականները մնում են կամայական: Նրանց տալով տարբեր արժեքներ՝ մենք ստանում ենք համակարգի բոլոր լուծումները (3.22): Մենք գտնում ենք լուծումներից մեկը, եթե բոլոր ազատ փոփոխականները հավասարեցնենք զրոյի։ Այնուհետև մենք ստանում ենք.

x 1 \u003d b 1, x 2 \u003d b 2, ..., x n \u003d b n; x n+1 =x n+2 =…=x m =0

Եթե ​​բոլոր b 1 , b 1 , …,b n թվերը ոչ բացասական են, ապա մենք կունենանք համակարգի ոչ բացասական լուծում (3.22), որը համապատասխանում է ոչ բացասական լուծումների պոլիէդրոնի անկյունային կետին (գագաթին), սա է. այսպես կոչված աջակցության լուծումը:

Շատ հարմար է համակարգը լուծել x 1 , x 2 , …,x n հիմնական փոփոխականների նկատմամբ՝ օգտագործելով n-րդ կարգի որոշիչների հատկությունները։ Այս համակարգը կլուծենք անհայտների հաջորդական վերացումով։

Հավասարումների (3.24) գործակիցները գրում ենք աղյուսակի տեսքով և a 11 տարրը փակցնում ենք շրջանակի մեջ։

(3.27)

մենք գործակիցները կառանձնացնենք անհայտ ազատ անդամներից տողով, իսկ շրջանակի մեջ ընդգրկված a 11 տարրը կկոչվի լուծող տարր։

Եկեք դուրս գրենք հավասարումների գործակիցների համապատասխան աղյուսակը (3.26)

(3.28)

a' 21 գործակիցը հավասար է զրոյի

Հավասարումը (3.25) ենթադրում է, որ

Աղյուսակում (3.27) մենք a 2j տարրը միացնում ենք լուծվող տարրի հետ ուղիղ գծով։ Դիտարկենք մի ուղղանկյուն, որի անկյունագիծը ուղիղ է: Այս անկյունագիծը մենք կանվանենք առաջին անկյունագիծը: Երկրորդ անկյունագիծը ուղիղ գիծ է, որը միացնում է շրջանագծային տարրերը a 21 և a 1j: Ինչպես հետևում է բանաձևից (3.29), a 2j տարրը ստանալու համար անհրաժեշտ է առաջին անկյունագծի տարրերի արտադրյալից հանել երկրորդ անկյունագծի արտադրյալը։ Երկրորդ շարքի մնացած տարրերը հաշվարկվում են նույն կանոնով: Այս կանոնը նման է երկրորդ կարգի որոշիչի հաշվարկման կանոնին, ուստի մենք այն համառոտ կանվանենք D-կանոն:

Անցումը գործակիցների աղյուսակից (3.27) աղյուսակին (3.28), որը կատարվում է D կանոնի օգնությամբ, կկոչվի սիմպլեքս փոխակերպում կամ մի աղյուսակի S-փոխակերպում մյուսի։

Ակնհայտ է, որ առաջին հավասարման միջոցով S-փոխակերպումը կատարելու համար անհրաժեշտ է, որ գործակիցը լինի 11 ¹0, հակառակ դեպքում x 1 փոփոխականը կբացակայի առաջին հավասարման մեջ:

Եթե ​​հիմա վերցնենք համակարգի առաջին հավասարումը (3.22) և երրորդը և կատարենք նույն հաշվարկները, ապա երրորդ հավասարումից վերացնում ենք x 1-ը։ Շարունակելով նույն հաշվարկները, մենք բոլոր հավասարումներից վերացնում ենք x 1-ը, բացի առաջինից։ Մենք հաշվարկները կկատարենք հետևյալ հաջորդականությամբ. Նախ, մենք գրում ենք համակարգի գործակիցների աղյուսակը (3.22)

(3.30)

Եթե ​​11 ¹0-ն է, և մենք ուզում ենք բացառել x 1-ը՝ օգտագործելով առաջին հավասարումը, ապա մենք լուծում ենք a 11 տարրը և աղյուսակում (3.30) այն ուրվագծում ենք շրջանակով: Enable տարրը պարունակող տողը և սյունակը, համապատասխանաբար, կոչվում են enable տող և enable սյունակ: Աղյուսակում (3.30) դա առաջին տողն է և առաջին սյունակը:

Կիրառելով սիմպլեքս փոխակերպումը, եկեք անցնենք նոր աղյուսակի: Նոր աղյուսակում թույլատրելի տողի տարրերը վերագրվում են առանց փոփոխությունների։ Enable սյունակի բոլոր տարրերը, բացի բուն enable տարրից, փոխարինվում են զրոներով:

Նոր աղյուսակի մնացած տարրերը հաշվարկվում են D-կանոնի համաձայն: Օրինակ՝ a' ij տարրը հաշվարկելու համար սեղանի վրա (3.30) a ij տարրը միացնում ենք a 11 ուղիղ գծի տարրը: Արդյունքում մենք ունենք առաջին անկյունագիծը: Երկրորդ անկյունագիծը ստացվում է սեղանի վրա շրջանագծված a i1 և a 1j տարրերը միացնելով: D-կանոնով մենք ունենք

Սիմպլեքս փոխակերպում կատարելիս աղյուսակում (3.30) ներկայացված անկյունագծերը իրականում կատարման կարիք չունեն. մտքում դրանք հեշտությամբ տարբերվում են:

Սեղանի վրա S-տրանսֆորմը կատարելուց հետո (3.30) ստանում ենք նոր աղյուսակ

(3.31)

Այս աղյուսակը համապատասխանում է հավասարումների համակարգին.

(3.32)

Համակարգը (3.32) համարժեք է սկզբնական համակարգին (3.22), սակայն (3.32) համակարգում x 1 փոփոխականը բացառվում է բոլոր հավասարումներից, բացառությամբ առաջինի: Եթե ​​(3.31) աղյուսակում a' 22 ¹0 տարրը, ապա այն ընդունելով որպես լուծող տարր և կատարելով S-փոխակերպում աղյուսակի վրա (3.31), մենք ստանում ենք նոր աղյուսակ: Իսկ այս աղյուսակին համապատասխան հավասարումների համակարգում x 2 փոփոխականը կբացառվի բոլոր հավասարումներից, բացի երկրորդից։

Եթե ​​աղյուսակում (3.31) a' 22 =0, ապա երկրորդ սյունակում գտնում ենք մի տարր, որը հավասար չէ զրոյի, և այն ընդունում ենք որպես լուծվող: Թող դա լինի 12: Այնուհետև սեղանի վրա կատարելով սիմպլեքս փոխակերպում (3.31), մենք բոլոր հավասարումներից վերացնում ենք x 2-ը, բացառությամբ i-րդի: Շարունակելով այսպես, n փոխակերպումներից հետո մենք կգանք աղյուսակի, որն ունի, օրինակ, հետևյալ ձևը.

(3.33)

Աղյուսակ (3.33) համապատասխանում է սկզբնական համակարգին համարժեք հավասարումների համակարգին: Այս հավասարումների համակարգը ունի ձև.

(3.34)

Կարելի է ենթադրել, որ համակարգը (3.34) լուծված է x 1, x 2, …, x n հիմնական փոփոխականների նկատմամբ: Ազատ փոփոխականներին համապատասխան տերմինները հիմնական փոփոխականների նկատմամբ համակարգի իրական լուծման համար (3.34) չենք տեղափոխի աջ կողմ, քանի որ հաջորդում մեզ կհետաքրքրի լուծումը, որտեղ բոլոր ազատ փոփոխականները գտնվում են. հավասար է 0-ի:

Ենթադրելով x n+1 =x n+2 =…=x m =0, մենք ստանում ենք.

Եթե ​​պարզվում է, որ x 1 ³0, x 2 ³0, ..., x m ³0, ապա թվերի բազմությունը (x 1 , x 2 , ..., x n , 0, 0, ..., 0) տալիս է. համակարգի ոչ բացասական լուծում:

Դիտարկենք մի օրինակ։ Տրված է հավասարումների համակարգ

Անհրաժեշտ է լուծել այս համակարգը x 1, x 2, x 3 փոփոխականների նկատմամբ: Հետևաբար, ազատ փոփոխականները կլինեն x 4, x 5, x 6: Գրենք հավասարումների այս համակարգին համապատասխան աղյուսակ։

Եկեք լուծենք x 1-ի համակարգը՝ օգտագործելով առաջին հավասարումը: Մենք վերցնում ենք առաջին շարքի առաջին տարրը որպես լուծող տարր և աղյուսակը ենթարկում S-փոխակերպման: Մենք ստանում ենք նոր աղյուսակ, որտեղ առաջին տողը վերագրվում է, առաջին սյունակում գրվում են զրոներ, իսկ մնացած տարրերը հաշվարկվում են ըստ D-կանոնի:

Այս աղյուսակը համապատասխանում է x 1-ի նկատմամբ լուծված հավասարումների համակարգին (x 1-ը ներառված է միայն առաջին հավասարման մեջ): Ավելի հարմար է բացառել x 2-ը, օգտագործելով երրորդ հավասարումը, քանի որ երրորդ հավասարման x 2 գործակիցը հավասար է մեկի: Մենք դա ընդունում ենք որպես թույլատրելի տարր։ Նոր աղյուսակ գրելը

Այս աղյուսակին համապատասխան հավասարումների համակարգը լուծվում է x 1-ի և x 2-ի նկատմամբ (x 1-ը ներառված է միայն առաջին հավասարման մեջ, իսկ x 2-ը միայն երրորդում):

Համակարգը x 3-ի նկատմամբ լուծելու համար որպես լուծիչ տարր վերցնում ենք երկրորդ հավասարման x 3 գործակիցը: Նոր աղյուսակը նման է

Վերջին աղյուսակը համապատասխանում է x 1, x 2, x 3 հիմնական փոփոխականների նկատմամբ լուծված համակարգին: Ենթադրելով x 4 , x 5 , x 6 ազատ փոփոխականները հավասար են զրոյի, մենք ստանում ենք հավասարումներ.

3x 1 \u003d -18, որտեղից x 1 \u003d 6

3x 2 \u003d -6, որտեղից x 2 \u003d 2

3x 3 \u003d 3, որտեղից x 3 \u003d -1

x 1 =6, x 2 =2, x 3 =-1, x 4 =0, x 5 =0, x 6 =0 թվերի բազմությունը այս համակարգի լուծումներից է: Այն չի պատկանում թույլատրելի լուծումների տիրույթին, քանի որ x 3 կոորդինատներից մեկը բացասական է։

Գծային ծրագրավորման խնդիր լուծելու համար կարևոր է, որ կարողանանք գտնել ոչ բացասական (հղում) լուծումներ տվյալ համակարգի հավասարումների համար։

Հավասարումների համակարգի ոչ բացասական լուծում գտնելիս լուծող տարր ընտրելու կանոնը.

Թող հավասարումների համակարգը

(3.36)

Եթե ​​սիմպլեքս փոխակերպումներ կատարելիս, մի ​​համակարգից մյուսն անցնելիս, համոզվում ենք, որ լուծիչ տարրերը դրական են, ապա հիմնական փոփոխականների նկատմամբ համակարգի լուծման վերջին փուլում մենք ստանում ենք ձևի համակարգ (3.34). ) և, օգտագործելով բանաձևերը (3.35), մենք գտնում ենք հիմնական փոփոխականների ոչ բացասական արժեքները: Մենք կազմում ենք b k ազատ անդամների հարաբերությունները լուծվող սյունակի a kj դրական տարրերի և թվերի միջև ընտրել ամենափոքր արժեքը. Եթե ​​ամենափոքր արժեքը հասնում է k=i-ի դեպքում, ապա i-ն հնարավորություն տվող գծի թիվն է, իսկ ընձեռող տարրը կլինի ij:

Դիտարկենք հավասարումների համակարգի ոչ բացասական լուծումներ գտնելու օրինակ:

Օրինակ. Գտեք հավասարումների համակարգի ոչ բացասական լուծում

Այս համակարգին համապատասխան աղյուսակ ենք գրում

Փորձենք լուծել այս համակարգը x 1-ի նկատմամբ, այսինքն. x 1 փոփոխականը կհամարվի հիմնական փոփոխական: Առաջին սյունակը կլինի հիմնական սյունակը: Կազմում ենք ազատ անդամների և առաջին սյունակի դրական տարրերի հարաբերակցությունը 10/2=5; 4/7. Այս թվերից ամենափոքրը 4/7-ն է։ Երկրորդ տողում 4 և 7 թվերն են։ Հետևաբար, լուծվող տողը կլինի երկրորդ տողը, իսկ լուծող տարրը՝ 7 թիվը։ Կատարելով սիմպլեքս փոխակերպում, մենք ստանում ենք նոր աղյուսակ։

Այս աղյուսակը համապատասխանում է x 1 հիմնական փոփոխականի նկատմամբ լուծված հավասարումների համակարգին: Քանի որ համակարգի ցանկացած հավասարման երկու մասերը կարելի է բազմապատկել և բաժանել ցանկացած հաստատուն թվով (համակարգը համարժեք կլինի նախորդին), ապա եթե աղյուսակի տողերն ունեն ընդհանուր գործակից, ապա այն կարող է կրճատվել դրանով։ Նախորդ աղյուսակի վերջին տողը ունի 7 ընդհանուր բազմապատկիչ; դրանով նվազեցնելով, մենք ստանում ենք աղյուսակը

Եկեք հիմքի մեջ ներմուծենք x 3 փոփոխականը, այսինքն. Որպես հնարավորություն ընձեռող սյունակ վերցնենք երրորդ սյունակը:

62/13 և 10/3 երկու հարաբերակցություններից երկրորդն ավելի փոքրն է։ Այսպիսով, լուծվող տարրը կլինի 3: Կատարելով սիմպլեքս փոխակերպում, մենք ստանում ենք աղյուսակ

Առաջին տողը կրճատում ենք 28-ով, երկրորդը՝ 21-ով

Մենք հիմք ենք դնում x 2 փոփոխականը: Լուծող տարրը կլինի 5: Կրկին կատարելով վերափոխման սիմպլեքսը, մենք ստանում ենք աղյուսակը

Վերջին տողը կրճատում ենք 3-ով

Այս աղյուսակը համապատասխանում է x 1, x 2, x 3 հիմնական փոփոխականների նկատմամբ լուծված հավասարումների համակարգին: Այստեղ անվճար փոփոխականներն են x 4 և x 5: Ենթադրելով, որ ազատ փոփոխականները հավասար են զրոյի, մենք ստանում ենք.

5x 1 =12, x 1 =12/5; 5x2=2, x2=2/5; 5x3=18,x3=18/5;

Թվերի հավաքածու x 1 =12/5; x 2 \u003d 2/5; x 3 \u003d 18/5; x4=0; x5=0

Տրված հավասարումների համակարգին տալիս է ոչ բացասական պատասխան. Այս թվերը կարելի է համարել իրագործելի լուծումների բազմության (բազմանկյունի) անկյունային կետի (գագաթի) կոորդինատներ։

ԳՐԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆ

Մալյավկո Կ.Ֆ. «Մաթեմատիկական մեթոդների կիրառումը բանակում

Ժուրկո Մ.Դ. «Մաթեմատիկական մեթոդները և դրանց կիրառման հիմունքները

հրամանատարության և հսկողության մեջ»:

«Քվանտ» ամսագիր թիվ 6, 1989 թ

20-րդ դարի կեսերին տեսական տնտեսագետներն անտեսեցին մաթեմատիկական մոտեցումներն ու հիմնավորումները։ Սակայն մաթեմատիկական հետազոտությունները շարունակվեցին, և ստացվեցին փայլուն արդյունքներ: 1975թ.-ին մաթեմատիկական դպրոցի լավագույն ներկայացուցիչներ խորհրդային գիտնական Լ.Կանտորովիչը և ամերիկացի պրոֆեսոր Տ.-Չ. Կուպմաններն արժանացել են Նոբելյան մրցանակի։

Կանտորովիչ(1912-1986) ծնվել է Սանկտ Պետերբուրգում։ 1930 թվականին ավարտել է Լենինգրադի համալսարանը, իսկ չորս տարի անց նրան շնորհվել է պրոֆեսորի կոչում։ Աշխատել է Լենինգրադի արդյունաբերական շինարարության ինժեներների ինստիտուտում, եղել է Բարձրագույն ինժեներատեխնիկական դպրոցի ամբիոնի վարիչ, Լենինգրադի համալսարանի պրոֆեսոր։ 1958 թվականին Վ. Նեմչինովի հետ ստեղծել է Տնտեսագիտության մեջ վիճակագրական և մաթեմատիկական մեթոդների կիրառման լաբորատորիան։ Նույն թվականին Լ.Կանտորովիչը ընտրվել է թղթակից անդամ, իսկ 1964 թվականին՝ ԽՍՀՄ ԳԱ իսկական անդամ։

Հեղինակ է «Մասնակի դիֆերենցիալ հավասարումների մոտավոր լուծման մեթոդներ» (Վ. Կռիլովի հետ, 1936 թ.), «Ֆունկցիոնալ վերլուծություն կրճատված դասավորված տարածություններում» (Բ. Վուլիխեի և Ա. Պինսկերի հետ միասին, 1949 թ.), «Ֆունկցիոնալ վերլուծություն» աշխատությունների. և կիրառական մաթեմատիկա «(1948), «Ռեսուրսների լավագույն օգտագործման տնտեսական հաշվարկ» (1959 թ.), «Ֆունկցիոնալ վերլուծություն նորմատիվ տարածություններում» (Գ. Ակիլովի հետ միասին), որոնք անցել են մի քանի հրատարակություններ ԽՍՀՄ-ում և արտերկրում, «Դինամիկ. օպտիմալ պլանավորման մոդել» (1967), «Գնագոյացում և տեխնիկական առաջընթաց» (1979) և շատ ուրիշներ։

Միջազգային էկոնոմետրիկ ընկերության պատվավոր անդամ, Գրենոբլի, Հելսինկիի, Յելի, Փարիզի, Քեմբրիջի, Փենսիլվանիայի համալսարանների, ինչպես նաև Վարշավայի, Գլազգոյի, Մյունխենի, Նիսի և Մարտին Լյութերի անունը Հալլեում, Վիճակագրական ինստիտուտի Կալկաթայի համալսարանների պատվավոր դոկտոր։ . Նոբելյան մրցանակակիր (1975)։

Koopmans Tjalling-Charles (1910-1985) ծնվել է Gravelandy (Հոլանդիա): 1927 - 1933 թվականներին սովորել է Ուտրեխտի համալսարանում։ 1934 թվականից Ամստերդամի համալսարանում պատրաստել է դոկտորական ատենախոսություն «Տնտեսական ժամային գոտիների գծային ռեգրեսիոն վերլուծություն», որը պաշտպանել է 1936 թվականին Լեյդենի համալսարանում։ Նա տնտեսագիտություն է դասավանդել և հետազոտական ​​գործունեություն ծավալել Ռոտերդամի Նիդեռլանդների տնտեսագիտության ինստիտուտում: Երկու տարի (1938-1940) աշխատել է Ազգերի լիգայի դրամավարկային հարցերով փորձագետ։ 1940 թվականին գաղթել է ԱՄՆ, դասավանդել Նյու Յորքի, Չիկագոյի, Հարվարդի համալսարաններում։

Նրա գրքերը՝ «Վիճակագրական եզրակացություն դինամիկ մոդելների մասին» (1950 թ.), «Երեք էսսեներ տնտեսական գիտության վիճակի մասին» (1975 թ.) և շատ ուրիշներ, մեծ ճանաչում են ստացել։

Եղել է Միացյալ Նահանգների Էկոնոմետրիկ միության անդամ։ 1950 թվականին ընտրվել է Միջազգային էկոնոմետրիկ ընկերության նախագահ։ 1955-1981թթ. աշխատել է Յեյլի համալսարանում որպես տնտեսագիտության պրոֆեսոր։ Ամերիկյան տնտեսական ասոցիացիայի հարգարժան անդամ, Յեյլի ինստիտուտի պատվավոր պրոֆեսոր, նա ստացել է պատվավոր կոչումներ Նիդեռլանդների տնտեսագիտության դպրոցի, Լուվենի կաթոլիկ համալսարանի, Հյուսիսարևմտյան և Փենսիլվանիայի համալսարաններից: Նոբելյան մրցանակակիր (1975)։

Ռեսուրսների օպտիմալ բաշխման տեսության հիմքում ընկած է գծային ծրագրավորման մեթոդը, որն առաջին անգամ հիմնավորել է Լ. Կանտորովիչը մաթեմատիկայի նոր ճյուղ, որը տարածվել է տնտեսական պրակտիկայում, նպաստել էլեկտրոնային համակարգիչների զարգացմանն ու օգտագործմանը։ Մեթոդի էությունը սահմանափակ ռեսուրսների մաքսիմալացումն է: Խնդրի պայմանները օպտիմալի և նպատակին հասնելու համար կարող են արտահայտվել գծային հավասարումների համակարգի միջոցով: Դրանցում անհայտները միայն առաջին աստիճանի են. ոչ անհայտը ՉԻ բազմապատկվում մեկ այլ անհայտով: Նման հավասարումները արտահայտում են կախվածություն և գրաֆիկի վրա պատկերված են ուղիղ գծերով։ Քանի որ կան ավելի քիչ հավասարումներ, քան անհայտները, խնդիրը սովորաբար ունենում է ոչ թե մեկ, այլ բազմաթիվ լուծումներ: Բայց դուք պետք է գտնեք մեկը, մաթեմատիկական տերմինաբանությամբ, ծայրահեղ լուծում: Այսպիսով, նրբատախտակի արտադրության օպտիմալացման հարցում Լ. Կանտորովիչը ներկայացրեց մի փոփոխական, որը պետք է առավելագույնի հասցվի որպես բոլոր մեքենաների կողմից արտադրված արտադրանքի ինքնարժեքի գումար: Սահմանափակիչները ձևակերպվել են որպես հավասարումներ, որոնք կապ են հաստատում արտադրության մեջ սպառվող բոլոր գործոնների (փայտ, սոսինձ, էլեկտրաէներգիա, աշխատաժամանակ) և մեքենաներից յուրաքանչյուրի վրա արտադրված արտադրանքի քանակի (նրբատախտակի) միջև: Արտադրության գործոնների ցուցանիշների համար ներդրվել են գործակիցներ, որոնք կոչվում են լուծող գործոններ կամ բազմապատկիչներ։ Նրանք իրենց օգնությամբ լուծում են առաջադրանքները։ Եթե ​​հայտնի են որոշիչ գործոնների արժեքները, ապա կարելի է հեշտությամբ հաշվարկել ցանկալի արժեքները, մասնավորապես արտադրության օպտիմալ ծավալը:

Լ. Կանտորովիչը հիմնավորեց իր կողմից առաջարկված գործակիցների (որոշիչ գործոնների) տնտեսական էությունը որպես սահմանափակող գործոնների սահմանային ծախսեր. սրանք արտադրության գործոններից յուրաքանչյուրի համար օբյեկտիվորեն նշանակալի գներ են մրցակցային շուկայի պայմանների հետ կապված: Խնդիրը օպտիմալ կերպով լուծելու համար գիտնականն օգտագործել է հաջորդական մոտարկումների մեթոդը, տարբերակների հաջորդական համեմատությունը խնդրի պայմաններին համապատասխան լավագույնի ընտրության հետ:

Օպտիմալ ռեսուրսների բաշխման տեսության հիմքերը առաջին անգամ հրապարակվել են 1939 թվականին։ «Արտադրության կազմակերպման և պլանավորման մաթեմատիկական մեթոդներ» աշխատության մեջ։ Դրանում Կանտորովիչը առաջարկել է սահմանափակումներով ծայրահեղ խնդիրների սկզբունքորեն նոր դաս՝ մշակելով դրանց լուծման արդյունավետ մեթոդ: Գիտնականը պլանի և գնային համակարգի կազմման խնդիրը ձևակերպեց որպես անբաժանելի երկակիության փոխկապակցված բաղադրիչներ, ինչը մեծ ձեռքբերում էր, քանի որ հնարավոր չէ նվազագույնի հասցնել ծախսերը և առավելագույնի հասցնել արդյունքները միաժամանակ։ Միևնույն ժամանակ, այս երկու մոտեցումներն էլ փոխկապակցված են. եթե, օրինակ, գտնվի տրանսպորտային օպտիմալ սխեման, ապա դրան համապատասխանում է որոշակի գնային համակարգ. եթե որոշվում են գների օպտիմալ արժեքները, ապա հնարավոր է ձեռք բերել տրանսպորտային սխեման, որը համապատասխանում է օպտիմալության պահանջներին:

«Անջատող գործոններ» տերմինը հետագայում մեկնաբանվեց Լ. Կանտորովիչի կողմից և ձևակերպվեց որպես օբյեկտիվորեն պայմանավորված գնահատականներ: Դրանք կամայական չեն, դրանց արժեքները պետք է օբյեկտիվորեն որոշվեն բնույթով, տրված խնդրի կոնկրետ պայմաններով: Օբյեկտիվորեն որոշված ​​գնահատումների արժեքը հարմար է միայն մեկ առաջադրանքի համար: Գիտնականն առաջարկել է դրանք հաշվարկել պլաններ մշակելիս; ձեռնարկությունները կոչված են հիմնվել այդ ցուցանիշների վրա՝ համապատասխան արտադրանքի ծախսերն ու արտադրության ծավալները հաշվարկելիս։ Օբյեկտիվորեն որոշված ​​գնահատականները ճշգրտվում են՝ կախված պահանջարկի և արտադրության ծավալների հարաբերակցությունից: Պլանավորման և կառավարման պրակտիկայում ներդրված հաշվարկները պետք է օպտիմալացնեն ռեսուրսների օգտագործումը:

Գծային ծրագրավորման խնդիրները հայտնի են 18-րդ դարի վերջից։ Սակայն դրանք սկսեցին զարգանալ միայն Լ.Կանտորովիչի աշխատությունների հրապարակումից հետո, ով դարձավ գծային ծրագրավորման բացահայտողը։ ԱՄՆ-ում գծային ծրագրավորման հետազոտությունները սկսվել են 20-րդ դարի 40-ականների վերջին * Հիչքոքի տրանսպորտային խնդիրը և Դանցիգ սիմպլեքս մեթոդը (մոտ Կանտորովիչի գծային ծրագրավորման խնդիրների լուծման մեթոդին) մշակվել են տասնամյակներ անց։

1950-ական թվականներին Լ. Կանտորովիչը, ամփոփելով իր հետազոտությունները, ընդլայնեց վերլուծության շրջանակը և հրատարակեց «Ռեսուրսների լավագույն օգտագործման տնտեսական հաշվարկ» գիրքը (1959 թ.), որի առաջին տարբերակը պատրաստվել էր դեռևս 1942 թ.-ին: Դրանում և հետագայում: հոդվածներում, նա կիրառել է գծային ծրագրավորման իր մեթոդը՝ ուսումնասիրելու պլանավորման խնդիրների լայն շրջանակ, մասնավորապես ազգային մակարդակում։

Լ.Կանտորովիչի գիտական ​​ներդրումն են ֆունկցիոնալ անալիզի, հաշվողական մաթեմատիկայի, մաթեմատիկական տնտեսագիտության և ժողովրդական տնտեսության օպտիմալ պլանավորման բնագավառում հայտնի գիտական ​​դպրոցները։ Նրա հայտնաբերած մաթեմատիկական ծրագրավորումը լայնորեն օգտագործվում է տնտեսագիտության, ֆիզիկայի, էներգետիկայի, երկրաբանության, կենսաբանության, մեխանիկայի և կառավարման տեսության հավասար խնդիրներ լուծելու համար։ Նա տնտեսագիտության արդի տնտեսամաթեմատիկական ուղղության հիմնադիրներից էր։

Գծային ծրագրավորման մեթոդն առաջին անգամ հնարավորություն տվեց ճշգրիտ ձևակերպել «օպտիմալության» կարևոր ժամանակակից տնտեսական և մաթեմատիկական հայեցակարգը։ Լ. Կանտորովիչը և նրա գործընկերները մշակել են տնտեսության օպտիմալ գործունեության համակարգ (SOFE), ձևավորել են ռեսուրսների արդյունավետ բաշխման և գնահատման մոդելներ։ Երկակիության տեսության տեսանկյունից Լ. Կանտորովիչը դեռ 1950-ականներին խորհուրդ էր տվել հաշվարկել պլանավորված ժամանակահատվածի համար կապիտալ ներդրումների օպտիմալ գնահատականը։

Նա տվեց դրան տնտեսական բացատրություն և ցույց տվեց դրա կարևորությունը տնտեսական կառավարման մեջ։ Դա կապիտալ ներդրումների օգտագործման արդյունավետության միասնական ազգային տնտեսական տնտեսական ստանդարտի թվային արժեքի հաշվարկման գիտականորեն հիմնավորված մոտեցում էր, որն իր ժամանակից շատ առաջ էր։

Որոշ չափով ավելի ուշ, բայց Լ.Կանտորովիչից անկախ, Տ.-Չ. Կոոպմանս. 1944-1945 թթ. Նա մշակեց առևտրային նավարկության ծրագիր, որը նվազագույնի հասցրեց ֆաշիստական ​​սուզանավերի կողմից դատարկ բեռնատար նավերի վտանգավոր տորպեդահարման հնարավորությունը։ Նա ընտրեց նավերի դատարկ վազքը նվազագույնի հասցնելու նպատակը և խնդիրը լուծեց փորձության և սխալի միջոցով։ Կուպմանսն ապացուցեց, որ տնտեսական խնդիրը համընկնում է գծային ֆունկցիայի նվազագույնի հասցնելու մաթեմատիկական խնդրի հետ։ Գիտնականն առաջին անգամ նկարագրել է այս վերլուծական տեխնիկան 1942 թվականին։ «Տարբեր երթուղիներով բեռների հոսքերի հարաբերակցությունը» անվան տակ։ Նա ցույց տվեց, որ նշված խնդիրը պետք է դիտարկել որպես գծային մաքսիմալացման ֆունկցիա բազմաթիվ սահմանափակումների շրջանակներում: Սահմանափակումները ներկայացված էին մաթեմատիկական հավասարումներով, որոնք արտահայտում էին արտադրության սպառվող գործոնների քանակի հարաբերակցությունը (նավերի մաշվածություն, ժամանակ, աշխատուժի ծախսեր) տարբեր ուղղություններով առաքված բեռների քանակի հետ: Միևնույն ժամանակ, ցանկացած ծախսերի գումարը չպետք է գերազանցի յուրաքանչյուր նավահանգիստ առաքված ապրանքների ինքնարժեքի չափը։ Գիտնականը նկատել է գծային ծրագրավորման սկզբունքի էությունը, որն այն էր, որ օպտիմալ դեպքում և բոլոր ռեսուրսների իդեալական գնահատականներով ծախսերն ու արդյունքները հավասար կլինեն։ Այսպիսով, Տ.-Չ. Koopmans-ը օգտագործեց մաթեմատիկական գործիքներ և ստեղծեց մրցակից սպառողների միջև ռեսուրսների օպտիմալ բաշխումը որոշելու մեթոդ, ըստ որի հնարավոր էր, օրինակ, հաշվարկել միլիոնավոր տոննա բեռների առաքման արժեքը, որը հազարավոր նավեր է տեղափոխում ծովով հարյուրավոր երկրներ: նավահանգիստները. Կոոպմանսի մեթոդը, որը կոչվում է «ընկերության գործունեության վերլուծություն», մտել է գծային ծրագրավորման ընդհանուր մեթոդաբանության մեջ։ Հետագայում գիտնականը մշակել և տարածել է գծային ծրագրավորման մեթոդներ։ Նրա ջանքերի շնորհիվ 1949 թվականի հունիսի 20-24-ը Չիկագոյում կազմակերպվեց գծային ծրագրավորման առաջին հատուկ կոնֆերանսը։

U1950. Թ.-Չ. Կոոպմանսը և այլ հետազոտողներ վերջապես մշակեցին այսպես կոչված «ընկերության գործունեության վերլուծության» մեթոդը։ Այս տեսակի մոդելները նույնն են, ինչ միջոլորտային, գծային, բայց դրանցում արտադրական գործունեության յուրաքանչյուր տեսակ կարող է կապված լինել մի քանի ապրանքների թողարկման հետ, և յուրաքանչյուր տեսակի արտադրանքի համար կա ընտրություն տարբեր արտադրական տեխնոլոգիաների միջև: Արտադրության մոդելը, ինչպիսին է ընկերության կատարողականի վերլուծությունը, սովորաբար պարունակում է ավելի շատ ազատության աստիճաններ, քան սովորական մուտքային-ելքային մոդելը, որը բնական հնարավորություններ է բացում օպտիմալացման համար: Այդ իսկ պատճառով ընկերության գործունեության վերլուծությունը մշակվել է գծային ծրագրավորման հետ սերտ առնչությամբ։

Ռեսուրսների օպտիմալ բաշխման տեսությունը, որի հիմնադիրներն են Լ.Կանտորովիչը և Թ.-Չ. Koopmans-ը, որոշում է արտադրական գործընթացի մոդելը, օգտագործելով գծային ծրագրավորման մեթոդը, ապահովում է ընտրություն մի քանի հնարավոր տարբերակներից, որոնք առավելագույնի են հասցնում արտադրանքը ոչ միայն ձեռնարկության, այլև մակրոտնտեսական մակարդակում:

2007 թվականի հոկտեմբերի 15-ին Շվեդիայի Գիտությունների թագավորական ակադեմիան հայտարարեց 2007 թվականին տնտեսագիտության ոլորտում Նոբելյան մրցանակի շնորհման մասին երեք ամերիկացի տնտեսագետների. Լեոնիդ Հուրվից, Էրիկ ՄասկինԵվ Ռոջեր Մայերսոնը «ռեսուրսների տեղաբաշխման օպտիմալ մեխանիզմների տեսության հիմքերը ստեղծելու համար»։

Հետազոտողները փորձ են արել լուծել ռեսուրսների օպտիմալ բաշխման հարցը շուկայի մասնակիցների միմյանց մասին ոչ լիարժեք իրազեկման պայմաններում։

Օպտիմալ ռեսուրսների տեղաբաշխման մեխանիզմների տեսությունը ստեղծել է Հուրվիցը, իսկ Մասկինն ու Մայերսոնը մշակել և լրացրել են այն տեղեկատվական անհամաչափության պայմաններում՝ Ջ.Աքերլոֆի, Մ.Սփենսի և Ջ.Սթիգլիցի կողմից։

Տեղեկատվական անհամաչափության տեսությունն ասում է, որ այն պայմաններում, երբ գործարքի մասնակիցները չունեն գործարքի օբյեկտի մասին նույն քանակությամբ տեղեկատվություն, ավելի շատ տեղեկատվություն ունեցող մասնակիցը հասնում է իր օպտիմալ մակարդակից բարձր գնի:

Ռեսուրսների օպտիմալ բաշխման տեսության ստեղծումն ու զարգացումն օգնում է բացատրել շուկայում տեղի ունեցող իրավիճակները, տարբերակել, թե տվյալ պահին որ միտումները (դրական կամ բացասական) են գերակշռում:

Նոբելյան կոմիտեի անդամների կարծիքով, ռեսուրսների օպտիմալ բաշխման մեխանիզմների տեսության զարգացումը հնարավորություն է տվել որոշել արդյունավետ առևտրային մեխանիզմներ, կարգավորող սխեմաներ և քվեարկության ընթացակարգեր, ինչպես նաև զգալիորեն ընդլայնել գիտելիքները ռեսուրսների օպտիմալ բաշխման առանձնահատկությունների վերաբերյալ:

ԳՈՒՐՎԻՏՆԵՐԼեոնիդը (Լեոն) ԱՄՆ Մինեսոտայի համալսարանի տնտեսագիտության պատվավոր պրոֆեսոր է: Ծնվել է 1917 թվականին Մոսկվայում (Ռուսաստան) Լեհաստանից փախստականների ընտանիքում։ Ավելի ուշ նրա ծնողները տեղափոխվեցին ԱՄՆ, որտեղ Հուրվիցն ապրում է մինչ օրս։ Հուրվիցը ամենատարեց (նա 90 տարեկան է) Նոբելյան մրցանակակիրն է բոլոր տարիների բոլոր անվանակարգերում։ Նա առաջիններից էր, ով գնահատեց այն հնարավորությունը, որ խաղերի տեսությունը բացում է տնտեսական գիտության համար:

Նրա ստեղծած օպտիմալ բաշխման տեսությունն ուղղակիորեն կապված է ռեսուրսների օպտիմալ բաշխման հետ, որը տնտեսական գիտության առանցքային ասպեկտն է։ Ռեսուրսների օպտիմալ բաշխման նախկինում օգտագործված վերլուծությունը՝ օգտագործելով շուկաների տեսությունը, արդյունավետ էր միայն իդեալական պայմաններում, որոնք իրական պրակտիկայում գոյություն չունեն: Սահմանափակ ռեսուրսների բաշխման օպտիմալ մեխանիզմների տեսությունը առաջ է քաշում ներկայիս իրական կյանքում ամենաարդյունավետ մեխանիզմը գտնելու խնդիրը։

Հուրվիցը պարզել է, որ ապրանքների բաշխման ամենաարդյունավետ մեխանիզմը շատ դեպքերում կրկնակի աճուրդն է, որի ժամանակ գները սահմանում են ոչ միայն վաճառողները, այլ նաև գնորդները։ Մշակված Հուրվիցի և 2007թ. տնտեսագիտության ոլորտում Նոբելյան մրցանակակիրների կողմից, տեսությունը բացատրում է, թե ինչու շուկաները լավ չեն աշխատում հանրային ապրանքների համար, ինչպիսիք են ջուրը և ճանապարհները: Տնտեսապես արդյունավետ կերպով տեղաբաշխումը կարող է պահանջել մեկ այլ մեթոդ, ինչպիսին է օգտագործման հարկերի սահմանումը:

Հուրվիցը ստեղծեց ռեսուրսների բաշխման օպտիմալ մեխանիզմների տեսությունը 1960 թվականին: Նա հասկացավ մեխանիզմը որպես խաղ, որտեղ մասնակիցները տեղեկատվություն են փոխանակում միմյանց կամ «հաղորդագրությունների կենտրոնի» հետ, և կանխորոշված ​​կանոնները որոշում են ռեսուրսների բաշխումը հաղորդագրությունների յուրաքանչյուր խմբի համար: Հուրվիցը ուսումնասիրել է խաղի ընթացքում ձեռք բերված հավասարակշռության վիճակները: Նա ընտրել է այն լուծումները, որոնք օպտիմալ էին խաղի բոլոր մասնակիցների համար։ Նրա մշակած սխեմաները գործում են նույնիսկ այն ժամանակ, երբ խաղի մասնակիցները չգիտեն, թե որքան են իրենց հարեւանները տալիս իրենց անհրաժեշտ ռեսուրսների համար։ Աճուրդը կազմակերպող համակարգը փորձում է հնարավորինս լիարժեք բավարարել յուրաքանչյուր մասնակցի կարիքները։ Միաժամանակ խաղի մասնակիցները համակարգին գաղտնի ուղարկում են իրենց օգուտների գնահատականները։ Արդյունքում ստացված բաշխումը հնարավորինս մոտ է արդարացիությանը:

1972 թվականին Հուրվիցը պարզեցրել է վերլուծությունը և ներմուծել այսպես կոչված «հայտնության սկզբունքը»՝ նեղացնելով և սահմանափակելով հետազոտության դաշտը։

Hurwitz-ի խաղերն օգնում են աճուրդի մասնակիցներին հնարավորինս շահավետ գնել կամ վաճառել այս կամ այն ​​ապրանքը։

Կարևոր է նշել, որ օպտիմալ մեխանիզմների տեսությունը հաշվի է առնում այնպիսի իրավիճակներ, որոնցում փողը գլխավորը չէ։ Օրինակ, օպտիմալ պայմանավորվածությունները կարող են օգտակար լինել, երբ գործարքներում կամ աճուրդներում հանրային բարիքը կառավարության առաջնահերթությունն է:

Այնուամենայնիվ, Հուրվիցը առանձնահատուկ նշանակություն է տալիս իր տեսության կիրառման մեկ այլ ոլորտին. Նոբելյան կոմիտեին տված հեռախոսազրույցում նա դա անվանել է «սոցիալական ապահովություն»:

ԴԻՄԱԿԱՆԷրիկը (ծն. 1950) Պրինսթոնի համալսարանի պրոֆեսոր է. Չիկագոյի համալսարանի պրոֆեսոր Մայերսոնի հետ 1972թ.-ին Հուրվիցի «հայտնության սկզբունքը» հասցվել է տնտեսագիտությանն արդեն հայտնի Նեշի հավասարակշռությանը (Ջ. Նեշը ամերիկացի տնտեսագետ է, 1994թ. տնտեսագիտության Նոբելյան մրցանակակիր), որը վերլուծության գործիք տնտեսագիտության գրեթե բոլոր բաժինների համար, երբ անհրաժեշտ է տնտեսվարող սուբյեկտների փոխգործակցության համապարփակ վերլուծություն։

Մասկինը հանգեցրեց սեփականաշնորհման աճուրդների կազմակերպմանն ուղղված իր աշխատանքի արդյունավետության կարևորագույն պայմաններին։ Մասկինի խոսքով՝ ամենաարդյունավետ աճուրդն այն աճուրդն է, որում վճարում են բոլոր մասնակիցները, իսկ օբյեկտն ավելի շատ է վճարվում, քան մյուսները։ Մասկինը քվեարկության վերլուծության ժամանակ օգտագործում է օպտիմալ բաշխման մեխանիզմների տեսությունը։

ՄԱՅԵՐՍՈՆՌոջերը (ծն. 1951) Չիկագոյի համալսարանի պրոֆեսոր է։ Նա ուշադրություն հրավիրեց պետության և մենաշնորհների միջև օպտիմալ բաշխման մեխանիզմների որոնման վրա։

Մայերսոնը, համագործակցելով այլ գիտնականների հետ, առաջարկել է, որ վերահսկող մարմինները չունեն ամբողջական և հավաստի տեղեկատվություն մենաշնորհատերերի արտադրանքի իրական արժեքի մասին։ Բայց, ըստ Մայերսոնի, հակամենաշնորհատերերը միշտ ընտրության հնարավորություն ունեն՝ մենաշնորհատերերին վարձով հարկելու կամ արտադրության արդյունավետ մակարդակը խթանելու միջև:

Օպտիմալ աճուրդների մասին Մայերսոնի աշխատությունը, որը հրապարակվել է 1981 թվականին, վերացական էր թվում։ Այնուամենայնիվ, եթե աճուրդներին նայեք Հուրվիցի խրախուսման տեսության ակնոցով, ապա դա օգտակար է թվում:

Հուրվիցի, Մասկինի և Մայերսոնի ուսումնասիրությունը որոշակի զուգահեռներ ունի Աքերլոֆի, Սփենսի և Ստիգլիցի ասիմետրիկ տեղեկատվության ներքո շուկայի տեսության ուսումնասիրության հետ, որի համար նրանք արժանացել են Նոբելյան մրցանակի 2001 թվականին։

Կարծիք կա, որ եթե Ռուսաստանում պետական ​​և հասարակական (կոլեկտիվ) սեփականության սեփականաշնորհման հեղինակներն ու կազմակերպիչները իմանային և կիրառեին Հուրվիցի տեսությունը, ապա նրա տնտեսությունը կարող էր ավելի հաջող զարգանալ։