Реклама на портале

Преимущества и недостатки индексной модели шарпа. Теоретические аспекты формирования оптимальных инвестиционных портфелей с использованием безрисковых кредитов и заемных средств. Рыночная премия за риск и коэффициент бета

Фондовый индекс - составной показатель изменения цен определённой группы ценных бумаг - «индексной корзины» . Как правило, абсолютные значения индексов не важны. Большее значение имеют изменения индекса с течением времени, поскольку они позволяют судить об общем направлении движения рынка, даже в тех случаях, когда цены акций внутри «индексной корзины» изменяются разнонаправлено. В зависимости от выборки показателей, фондовый индекс может отражать поведение какой-то группы ценных бумаг (или других активов) или рынка (сектора рынка) в целом. . Согласно данным агентства Dow Jones & Co. Inc. , на конец 2003 года в мире уже насчитывалось 2315 фондовых индексов. В конце названия фондовых индексов может стоять цифра, отображающая число акционерных компаний, на основании которых рассчитывается индекс: CAC 40 , Nikkei 225 , S&P 500.

Индекс РТС отражает текущую суммарную рыночную капитализацию (выраженную в долларах США) акций некоторого списка эмитентов в относительных единицах. За 100 принята суммарная капитализация этих эмитентов на 1 сентября 1995 года. Таким образом, к примеру, значение индекса, равное 2400 (середина 2008 года) означает, что за почти 13 лет рыночная капитализация (с пересчётом в доллары США) компаний из списка РТС выросла в 24 раза. Каждый рабочий день Индекс РТС рассчитывается в течение торговой сессии при каждом изменении цены инструмента, включённого в список для его расчёта. Первое значение индекса является значением открытия, последнее значение индекса - значением закрытия. Список акций для расчёта индексов пересматривается раз в три месяца. Существуют также индекс РТС-2 (акции «второго эшелона»), RTS Standard (15 «голубых фишек» выраженный в рублях), RTSVX (Индекс волатильности) и 7 отраслевых индексов.

Индекс ММВБ рассчитывается как отношение суммарной рыночной капитализации акций, включенных в базу расчета индекса, к суммарной рыночной капитализации этих акций на начальную дату, умноженное на значение индекса на начальную дату. При расчете рыночной капитализации учитывается цена и количество соответствующих акций, свободно обращающихся на организованном рынке ценных бумаг, которым соответствует доля акционерного капитала эмитента, выражаемая значением коэффициента free-float. Расчет индекса производится в режиме реального времени в рублях, таким образом, значение индекса пересчитывается при совершении каждой сделки на ФБ ММВБ с акциями, включенными в базу расчета индекса. В 2009 году для расчета индекса ежедневно используется более 450 тыс. сделок на сумму свыше 60 млрд руб. , а суммарная капитализация акций, включенных в базу расчета Индекса ММВБ, составляет более 10 трлн руб. , что соответствует 80 % совокупной капитализации эмитентов, акции которых торгуются на бирже. База расчета Индекса ММВБ пересматривается 2 раза в год (25 апреля и 25 октября) на основании ряда критериев, основными из которых являются капитализация акций, ликвидность акций, значение коэффициента free-float и отраслевая принадлежность эмитента акций.

Динамика индекса S&P

На рынках ценных бумаг для определения общей тенденции в изменении курсов акций применяются специальные индикаторы –фондовые индексы. Биржевой (фондовый) индекс является обобщенным показателем изменения цен определённой группы активов (ценных бумаг, товаров или производных финансовых инструментов). В зависимости от выборки показателей, биржевой индекс может отражать поведение какой-то группы активов (ценных бумаг) или рынка (сектора рынка) в целом. Для изучения характера взаимосвязи в изменении фондовых индексов и доходности ценных бумаг строятся рыночные модели, с помощью которых можно оценивать инвестиционные портфели предприятий.

C редневзвешенный капитальный доход по ценным бумагам Прирост фондового индекса за определенный — период это средневзвешенный капитальный, доход по ценным бумагам цены которых. использованы для расчета индекса Пусть m r — средневзвешенный капитальный, доход по группе ценных бумаг входящих в, I индекс 0 — , значение индекса на начало периода I 1 — . значение индекса на конец периода 0 01 I II K

Проблемы использования индекса, Основная проблема связанная с, — использованием индексов насколько точно, — индекс характеризует рыночный портфель, то есть абсолютно все финансовые активы, которые присутствуют на рынке при том что для расчета индекса используется только определенная выборка из всего (, множества ценных бумаг хотя по: некоторым индексам и достаточно большая, SP 500 так при расчете используют цены на 500). акции крупнейших компаний США

Еще несколько проблем. — , Первая доходность государственных ценных бумаг как, . — и любых других подвержена колебаниям Вторая в модели оценки капитальных активов ставка 0 — это еще и, ставка по безрисковым кредитам что еще более усложняет проблему выбора ее значения для. практических расчетов, Таким образом уже здесь необходимо прибегать к. , определенным упрощениям Практически в качестве, безрисковой ставки выбирают как правило ставку () доходности по краткосрочным от трех месяцев до года, (государственным обязательствам учетную ставку либо) , ставку рефинансирования центрального банка либо рассчитанную определенным образом средневзвешенную ставку по кредитам на (: межбанковском рынке наиболее известный пример LIBOR — London Interbank ffered Rate). ставка О

Однофакторная модель Шарпа Пусть за некоторый период времени изучается взаимосвязь между доходностью определенной ценной бумаги – mi и доходностью рынка () рыночным индексом -mr . в том же периоде Изменение рыночного индекса может вызывать соответствующее изменение цены i — ой ценной бумаги, причем такие изменения носят случайный характер и, взаимосвязаны и для их отражения используется рыночная модель в виде (уравнения регрессии характеристической линии ценной бумаги): m i = i + i m r + i

m i = i + i m r + i где m i и m r доходность ценной бумаги i и на рыночный индекс за период времени t ; i — коэффициент смещения линии регрессии, характеризует ожидаемую доходность i -ой ценной бумаги при условии нулевой доходности рыночного индекса; i — коэффициент наклона и является характеристикой риска; i — случайная погрешность.

Бета коэффициент- Бета-коэффициент оценивает изменения в доходности отдельных акций в сопоставлении с динамикой рыночного дохода: если >0, то доходность соответствующих ценных бумаг изменяется в том же направлении, что и рыночная доходность, при 1, 0 считаются агрессивными и более рискованными, чем рынок в целом; для менее рискованных бумаг <1, 0. индекс систематического риска вследствие общих условий рынка. i

По Шарпу Эффективность ценных бумаг удобно отсчитывать от эффективности безрискового вклада m f m i = m f + β i (m r – m f) + α i , m i — m f называется премией за риск. α = 0 – бумаги справедливо оцениваемые; α > 0 – бумаги рынком недооценены; α < 0 – бумаги рынком переоценены. Аналогичные утверждения имеют место и для портфелей.

Отличие линейной модели рынка и САРМ: 1) линейная модель рынка является однофакторной моделью, где в качестве фактора выступает рыночный индекс. В отличие от САРМ она не является равновесной моделью, описывающей процесс формирования курсов ценных бумаг. 2) рыночная модель использует рыночный индекс, (например, S&P 500), в то время как САРМ – рыночный портфель. Рыночный портфель сочетает в себе все обращающиеся на рынке бумаги, а рыночный индекс – только ограниченное их число (например, 500 для индекса S&P 500). Сравнение рыночной модели рынка и модели САРМ

Пример. 5. 1. По данным инвестиционной компании «ФИНАМ» о фактической доходности акций и доходности на индекс РТС (RTSI) за период с января 2008 по май 2009 гг. см. табл. 1, определить ожидаемую доходность, риск и параметры рыночных моделей (альфа и бета коэффициенты) для акций «Газпром» (GAZP), «Сбербанк» (SBER) и «Роснефть» (ROSN). По результатам расчета построить графики зависимостей доходности акций от доходности на индекс РТС.

Для акций GAZP Для акций SBER Для акций ROSN ВЫВОД ИТОГОВ Регрессионная статистика Множественный R 0, 894 Множественный R 0, 898 Множественный R 0, 903 R-квадрат 0, 799 R-квадрат 0, 806 R-квадрат 0, 816 Нормированный R-квадрат 0, 784 Нормированный R-квадрат 0, 792 Нормированный R-квадрат 0, 802 Стандартная ошибка 6, 540 Стандартная ошибка 11, 068 Стандартная ошибка 6, 677 Наблюдения 16 Коэффициенты для GAZP Коэффициенты для SBER Коэффициенты для ROSN Y-пересечение, — 0, 56 Y-пересечение, 0, 72 Y-пересечение, 3, 38 Переменная X 1, 0, 72 Переменная X 1, 23 Переменная X 1, 0,

для акций «Газпрома» m 1 = — 0, 56 + 0, 72 mr , для акций «Сбербанка» m 2 = 0, 72 + 1, 23 mr , для акций «Роснефть» m 3 = 3, 38 + 0, 76 mr .

Некоторые выводы. . Акции Сбербанка агрессивные бумаги т к β = 1, 23; У акций Газпрома β = 0, 72, он практически совпадает коэффициентом бета для акций Роснефти β = 0, 76, их характеристические линии. почти параллельны другу (С ростом доходности фондового рынка либо) индекса рынка РТС ожидаемая доходность всех, акций возрастает причем доходность по акциям, Сбербанка растет более интенсивно чем по. акциям Газпрома и Роснефти (При нулевой доходности фондового рынка mr = 0) 0, 72% ожидается прибыль по акциям Сбербанка и 3, 38%, по акциям Роснефти а акции Газпрома. принесут убыток

Определение доли рыночного и нерыночного риска активов Общий риск ценной бумаги i , измеряемый ее дисперсией i 2 , обычно представляют в виде: двух составляющих рыночный () систематический или недиверсифицируемый (риск market risk)+ собственный () несистематический или диверсифицируемый (риск unique risk). i 2 = i 2 (m r) 2 + 2 , где 2 i m r 2 — обозначает рыночный риск ценной бумаги i , 2 — собственный риск ценной бумаги i , мерой которого является СКО случайной погрешности i в уравнении

Общий риск = Рыночный риск + Собственный риск (систематический) + (несистематический) Таким образом, вариация доходности каждой ценной бумаги состоит из двух слагаемых: «собственной» вариации, не зависящей от рынка, и «рыночной» части вариации, определяемой случайным поведением рынка в целом. При этом отношение i 2 2 m r / 2 характеризует долю риска ценных бумаг вносимую рынком, его обозначают R i 2 и называют коэффициентом детерминации. Бумаги с большими значениями R i 2 могут оказаться предпочтительнее, поскольку их поведение более предсказуемо.

Специфический риск связан с такими явлениями, как изменения в законодательстве, забастовки, удачная или неудачная маркетинговая политика, заключение или потеря важных контрактов и с другими событиями, которые имеют последствия для данной фирмы. Воздействие таких событий на портфель акций можно исключить путем диверсификации портфеля. Рыночный риск обусловлен наличием факторов, которые оказывают влияние на все акции. К таким факторам относятся война, инфляция, спад производства, повышение процентных ставок и др. Поскольку такие факторы действуют на большинство акций в одном направлении, то рыночный и систематический риск не может быть устранен путем диверсификации.

Модель Шарпа n i iim n i iipxx 1 222 2 1 2 minmin p n i iimxm 1 1 1 n i ix

Оптимизация портфеля по Шарпу

t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 индекс рынка 10 9 9 10 10 11 11 12 10 8 акция А 10 11 9 12 13 12 14 12 15 13 акция В 23 21 20 22 23 24 25 27 25 20 Пример. Известны доходности двух акций и доходность индекса рынка за 10 месяцев: Определить: 1. Характеристики каждой ценной бумаги: коэффициенты зависимости от индекса, собственный (или несистематический) риск, рыночный риск и долю риска, вносимую рынком. 2. Сформировать портфель минимального риска из двух видов ценных бумаг при условии, что обеспечивается доходность портфеля не менее чем по безрисковым ценным бумагам (5%) с учетом индекса рынка.

дата индекс ОФЗ, % год. индекс РБК RTKM (Ростелеком) EESR (РАО ЕЭС) KMAZ (КАМАЗ) SBER (сбербанк) LKOH (ЛУКОЙЛ) 1 ноя 07 6, 16 195, 93 112, 46 -27, 92 -24, 14 103, 14 551, 36 2 ноя 07 6, 12 -158, 76 -298, 98 501, 65 -230, 55 -397, 67 -268, 26 6 ноя 07 6, 13 228, 40 -435, 60 -97, 05 37, 90 460, 97 1071, 51 7 ноя 07 6, 05 349, 90 -71, 70 -272, 71 -778, 55 17, 11 332, 93 14 янв 08 6, 01 -32, 50 494, 78 211, 67 689, 43 97, 81 -585, 93 15 янв 08 5, 98 310, 83 179, 85 301, 95 2254, 86 376, 25 -134, 32 16 янв 08 5, 94 -1, 68 -261, 76 -980, 08 576, 80 -1331, 03 -1717, 19 17 янв 08 5, 98 -1471, 25 -1087, 70 -289, 08 1254, 74 -440, 19 -854, 21 среднее 6, 14 39, 81 205, 36 59, 83 516, 15 33, 50 -104, 21 SKO общ. риск 0, 09 450, 60 556, 84 382, 06 1101, 37 501, 22 554, 98 корреляция 0, 27 1, 00 0, 51 0, 24 0, 11 0, 44 0, 51 альфа 6, 14 0, 00 180, 31 51, 62 505, 73 14, 05 -129, 20 бета 0, 00 1, 00 0, 63 0, 21 0, 26 0, 49 0, 63 собств. риск 412, 51 359, 44 1088, 74 404, 51 410, 90 рын. риск 144, 34 22, 62 12, 63 96, 71 144, 08 доля рын. риска 100, 00% 25, 92% 1, 15% 19, 30% 25, 96%Динамика доходности акций и облигаций

портфель RTKM (Ростелеком) KMAZ (КАМАЗ) портфель рынок доля 44, 31% 55, 69% 100, 00% ср. доход 205, 36 516, 15 378, 43 39, 81 ср. риск 556, 84 1101, 37 381, 81 450, 60 SMLпортфель RTKMKMAZ

Как следует из модели Марковитца, задавать распределение доходов отдельных ценных бумаг не требуется. Достаточно определить только величины, характеризующие это распределение: математическое ожидание Е 1 , дисперсию D 1 и ковариацию С ik между доходами отдельных ценных бумаг. Это следует проанализировать до составления портфеля. На практике для сравнительного небольшого числа ценных бумаг произвести такие расчеты по определению ожидаемого дохода и дисперсии возможно. При определении же коэффициента корреляции трудоемкость весьма велика. Так, например, при анализе 100 акций потребуется около 500 ковариаций.

Для избежания такой высокой трудоемкости Шарп предложил индексную модель (или модель оценки финансовых активов Capital Asset Pricing Model - CAPМ), представляющую собой зависимость между эффективностью конкретной ценной бумаги и эффективностью рыночного портфеля. Причем он не разработал нового метода составления портфеля, а упростил проблему таким образом, что приближенное решение может быть найдено со значительно меньшими усилиями. Шарп ввел так называемый В-фактор, который играет особую роль в современной теории портфеля.

В индексной модели Шарпа используется тесная (и сама по себе нежелательная из-за уменьшения эффекта рассеивания риска) корреляция между изменениями курсов отдельных акций. Предполагается, что необходимые входные данные можно приблизительно определить при помощи всего лишь одного базисного фактора и отношений, связывающих его с изменением курсов отдельных акций. Предположив существование линейной связи между курсом акции и определенным индексом, можно при помощи прогнозной оценки значения индекса определить ожидаемый курс акции. Помимо этого можно рассчитать совокупный риск каждой акции в форме совокупной дисперсии.

В САРМ-модели предполагается, что эффективность ценной бумаги Х j линейно зависит от некоторого ведущего фактора F, описывающего эффективность рынка в целом, и в то же время на каждую j ценную бумагу влияют и специфические для нее факторы, являющиеся случайными величинами e j . Тогда

Хj = j + j * F + ej

где j и j - некоторые детерминированные величины, а коэффициент j отражает зависимость эффективности бумаги от рыночной конъюнктуры, если j > 0, то эффект бумаги аналогичен эффекту рынка, если j < 0, то эффективность бумаги возрастает, когда эффективность рынка снижается

Для характеристики конкретной ценной бумаги используются и другие параметры. Поскольку вариация эффективности каждой ценной бумаги состоит из “собственной” и “рыночной”, то величина

Rj2 = (j * VF) / Vej

где V F - вариация эффективности рынка;

V ej - вариация “собственной” составляющей эффективности бумаги

будет характеризовать долю риска каждого вклада, вносимую неопределенностью рынка в целом. Из этого выражения видно, что чем больше R 2 , тем меньше доля “собственного” риска бумаги V ej , следовательно, предпочтительней при прочих равных условиях бумаги с большими значениями R 2 .

Если отсчитывать эффективность инвестиций в ценную бумагу от эффективности безрискового вклада r 0 , то параметр

представляет собой превышение эффективности ценной бумаги над безрисковой эффективностью (можно считать это некоторой премией за риск). Если a j < 0, то рыночная цена на эту бумагу завышена, и в ближайшем будущем она может понизиться; если же a j > 0, то рыночная цена занижена, и в будущем вероятно ее повышение. Следовательно, при прочих равных условиях более предпочтительна бумага с a j > 0.

На западных рынках значения, и R 2 регулярно рассчитываются для всех ценных бумаг и публикуются вместе с индексами. Пользуясь этой информацией, инвестор может сформировать собственный портфель ценных бумаг. На российском рынке профессионалы постепенно тоже начинают использовать -, - и R 2 -анализ. Отдельные инвестиционные институты рассчитывают, и R 2 .

Пример. Оптимальная структура портфеля ценных бумаг приведена в таблице 1.2. Оценка оптимальной структуры проводилась по методике Марковитца и основывалась на собранной в базе данных статистической информации о проведении котировок акций и курса доллара США на ММВБ. Для анализа было выбрано 14 эмитентов с наибольшей ликвидностью акций. Кроме того, рассматривалась возможность вложения капитала в твердую валюту - доллар США (валютный портфель).

При анализе лучшим считался тот портфель, который позволяет достигнуть возможно большей средней эффективности (доходности) при фиксированном риске. Под эффективностью понимается доход на единицу вложенного капитала, а мерой риска считалась дисперсия этой эффективности.

Кроме вложения капитала в “рисковые” ценные бумаги, такие ценные бумаги, эффективность вложений в которые есть величина случайная, рассматривалась возможность “безрискового” вклада, или, другими словами, предполагалось существование “безрисковой” ценной бумаги. Ценная бумага является “безрисковой”, если эффективность вложения в нее фиксирована, заранее известна.

Таблица 1.2. Оптимальное распределение капитала по акциям, %

Структура распределения капитала по рисковым вложениям, %

Структура распределения капитала при желаемой эффективности 5% в неделю

1) Инкомбанк

2) АвтоВАЗбанк

3) Банк “Санкт-Петербург”

4) Торибанк

5) МАБ “Гермес-Центр”

6) Витабанк

7) Витабанк (привил.)

8) Глориябанк

9) Промстройбанк

10) Сибторгбанк (2 вып.)

11) СКВ-банк

12) Сибюргбанк (3 вып.)

13) СПб биржевой банк

14) Доллар

Безрисковая ценная бумага: 108,9%

Стандартная девиация: 9,25%

Предусматривалась возможность не только “безрискового” вклада, но и “безрискового” займа, что равносильно возможности “отрицательного” вклада в “безрисковую” ценную бумагу. Разработанная методика оптимизации структуры портфеля предполагает возможность решения и в так называемом “short sale” случае, когда подобный заем возможен и с рисковыми ценными бумагами, но подобные операции еще не распространены на рынке ценных бумаг России, и задача решалась в предположении о неотрицательности вложений в рисковые ценные бумаги.

Если Безрисковая ценная бумага включена в портфель, то оптимальное распределение капитала по “рисковым” акциям не зависит от величины желаемой средней эффективности (среднего дохода) портфеля. Поэтому в первой графе таблицы приведено искомое распределение капитала по рассмотренным “рисковым” бумагам, рассчитанное для случая, когда эффективность безрискового вложения равна 2% в неделю. Поясним, что это есть рекомендуемая структура вложений исходного капитала вместе с занятыми под 2% средствами (или за вычетом вложений под 2% части исходных средств). Остается указать объем “безрискового” займа (вклада) в зависимости от желаемой доходности. Во второй графе приведен этот объем для желаемой эффективности 5% в неделю: заем в размере 108,9% от исходного капитала. Структура распределения по “рисковым” акциям остается той же, но объемы вкладов (указанные в процентах от исходного капитала) зависят от степени желаемой доходности портфеля.

Соответствующая полученной структуре стандартная девиация (квадратный корень от дисперсии) эффективности портфеля также зависит от желаемой доходности и ее значения для рассмотренного случая. Она приведена в таблице 1.2.

Рассмотрим практические аспекты построения модели оценки капитальных активов CAPM с помощью Excel для отечественных акций ОАО “Газпром”.

Модель оценки капитальных активов (англ. Capital Assets Price Model, CAPM) – модель оценки (прогнозирования) будущей доходности актива для инвесторов. Подход оценки активов был теоретически разработана еще в 50-е годы Г.Марковицем, и окончательно сформирован в виде модели в 60-е годы У.Шарпом (1964), Дж. Трейнором (1962), Дж. Линтнером (1965), Ж. Мосином (1966).

Модель CAPM основывается на гипотезе эффективного рынка капитала (E fficient M arket H ypothesis, EMH ), созданной еще в начале 20-го века Л. Башелье и активно продвигаемую Ю.Фамой в 60-е годы. Данная гипотеза имеет ряд условий по способу распространению информации и действию инвесторов на эффективном рынке капитала:

  • Информация свободно распространяется и доступно всем инвесторам, рынок имеет совершенную конкуренцию. Другими словами, отсутствуют инсайдеры, которые обладают большим преимуществом в принятии решений и получении сверхдоходности (выше среднерыночной).
  • Любое изменение информации о компании сразу приводит к изменению стоимости ее активов (акций). Это исключает возможность использования любой активной стратегии инвестирования для получения сверхприбыли. Данная предпосылка исключает возможность арбитражных сделок, когда инвестор заранее имеет полезную информацию, тогда как цена на активы компании еще не изменилась.
  • Инвесторы на эффективном рынке имеют долгосрочный горизонт вложения. Это исключает возникновение резких изменений цен на активы (акции) и кризисов.
  • Активы имеют высокую ликвидность и абсолютно делимы.

Исходя из гипотезы эффективного рынка, У. Шарп сделал предположение, что на будущую доходность акции будут оказывать влияние только рыночные (системные) риски. Другими словами, будущую доходность акции будут определять общее настроение рынка. Поэтому, кстати, он и был сторонником пассивного инвестирования, когда инвестиционный портфель не пересматривается от получения новой информации. Следует отметить, что на эффективном рынке невозможно получить сверхприбыль. Это делает любое активное управление инвестициями (инвестиционным портфелем) не целесообразным и ставит под сомнение эффективность вложения в ПИФы. В результате, модель У. Шарпа имеет всего один фактор – рыночный риск (коэффициент бета). Анализируя данные постулаты эффективного рынка, можно заметить, что в современной экономике многие из них не выполняются. Модель CAPM в большей степени является теоретической моделью и может использоваться на практике в общем случае.

Модель CAPM. Формула расчета

Формула оценки будущей доходности актива (акции) по модели CAPM имеет следующий аналитический вид:

r – ожидаемая доходность актива (акций);

r f – доходность по безрисковому активу;

r m – среднерыночная доходность;

β – коэффициент бета (мера рыночного риска), который отражает чувствительность изменения стоимости активов в зависимости от доходности рынка. Данный коэффициент иногда называют коэффициент Шарпа.

Модель представляет собой уравнение линейной регрессии и показывает линейную взаимосвязь между доходностью (r) и рыночным риском (β);

σ im – стандартное отклонение изменения доходности акции от изменения доходности рынка;

σ 2 m – дисперсия рыночной доходности.

Для того чтобы лучше понять модель CAPM разберем ее на реальном примере акций предприятия ОАО «Газпром». Для этого воспользуемся программой Excel. Получить котировки акций можно на сайте finam.ru в разделе «Про рынок» ­→ «Экспорт данных».

В нашей формуле за рыночную доходность будем брать изменения индекса РТС (RTSI), также это может быть индекс ММВБ (MICECX). Для американских акций зачастую берут изменения индекса S&P500. Были взяты ежедневные котировки акции и индекса за 1 год (250 данных), начиная с 31.01.2014 по 30.01.2015 г.
Далее необходимо рассчитать доходности акции (E) и индекса (D), по формулам:

Хочется заметить, что для оценки доходностей могла быть использована также формула расчета через натуральный логарифм:

Итоговый результат расчета доходности одинаковый.

Расчет коэффициента бета с помощью формул Excel

Для расчета коэффициента бета можно воспользоваться формулой ИНДЕКС и ЛИНЕЙН, первая позволяет взять индекс b из формулы линейной регрессии между доходностями акции и индекса, который соответствует коэффициенту бета. Формула расчета будет следующая:

ИНДЕКС(ЛИНЕЙН(E7:E256;D7:D256);1)

Расчет коэффициента бета через надстройку «Регрессия»

Второй вариант расчета рыночного риска модели заключается в использовании надстройки в разделе «Главное меню» → «Данные» →«Анализ данных» → «Регрессия».

В открывшемся окне необходимо заполнить два поля: «Входной интервал Y» и «Входной интервал Х» доходностями индекса и акции соответственно.

На новом листе Excel появится основные параметры модели линейной регрессии. В ячейке В18 отразится рассчитанный коэффициент линейной регрессии – коэффициент бета. Рассмотрим другие полученные параметры анализа. Так показатель Множественной R (коэффициента корреляции) между доходностью акции и индекса составляет 0,29, что показывает низкую степень зависимости доходности акции от доходности индекса. Коэффициент R-квадрат (коэффициент детерминированности) отражает точность полученной модели. Точность составляет 0,08, что очень мало для того чтобы принимать адекватные решения о прогнозировании будущей доходности на основе взаимосвязи только с уровнем риска рынка.

Что показывает коэффициент бета в модели CAPM?

Коэффициент бета показывает чувствительность изменения доходности акции и доходности рынка. Другими словами, отражает рискованность вложения в тот или иной актив. Коэффициент бета служит мерой рыночного риска. Знак перед показателем отражает их однонаправленное или разнонаправленное движение. Рассмотрим более подробно значение бета в таблице ниже:

Значение коэффициента бета

Как было отмечено выше, модель Марковица не дает возможности выбрать оптимальный портфель, а определяет набор эффективных портфелей. Каждый из этих портфелей обеспечивает наибольшую ожидаемую доходность для определения уровня риска. Однако главным недостатком модели Марковица является то, что она требует очень большого количества информации. Гораздо меньшее количество информации используется в модели У. Шарпа. Последнюю можно считать упрощенной версией модели Марковица. Если модель Марковица можно назвать мультииндексной моделью, то модель Шарпа называют диагональной моделью или моделью единичного индекса.

Согласно Шарпу, прибыль на каждую отдельную акцию строго коррелирует с общим рыночным индексом, что значительно упрощает процедуру нахождения эффективного портфеля. Применение модели Шарпа требует значительно меньшего количества вычислений, поэтому она оказалась более пригодной для практического использования.

Анализируя поведение акций на рынке, Шарп пришел к выводу, что вовсе не обязательно определять ковариацию каждой акции друг с другом. Вполне достаточно установить, как каждая акция взаимодействует со всем рынком. И поскольку речь идет о ценных бумагах то, следовательно, нужно взять в расчет весь объем рынка ценных бумаг. Однако нужно иметь в виду, что количество ценных бумаг и прежде всего акций в любой стране достаточно велико. С ними осуществляется ежедневно громадное количество сделок как на биржевом, так и внебиржевом рынке. Цены на акции постоянно изменяются, поэтому определить какие-либо показатели по всему объем рынка оказывается практически невозможным. В то же время установлено, что если мы выберем некоторое количество определенных ценных бумаг, то они смогут достаточно точно охарактеризовать движение всего рынка ценных бумаг. В качестве такого рыночного показателя можно использовать фондовые индексы.

Рассматривая выше взаимосвязь поведения акций друг с другом, мы установили, что достаточно трудно или почти невозможно найти такие акции, доходность которых имеет отрицательную корреляцию. Большинство акций имеют тенденцию расти в цене, когда происходит рост экономики, и снижаться в цене, когда происходит спад в экономике.

Разумеется, можно найти несколько акций, которые выросли и цене из-за особого стечения обстоятельств, в то время когда другие акции падали в цене. Труднее найти такие акции и дать логическое объяснение тому, что эти акции будут повышаться в цене в будущем, в то время как другие акции будут снижаться в цене. Таким образом, даже портфель, состоящий из очень большого количества акций, будет иметь высокую степень риска, хотя риск будет значительно меньше, чем если бы все средства были вложены в акции одной компании.

Для того, чтобы уяснить более точно, какое влияние структура портфеля оказывает на риск портфеля, обратимся к графику на рис. 7, который показывает, как снижается риск портфеля, если число акций в портфеле увеличивается. Стандартное отклонение для «среднего портфеля», составленного из одной акции, котируемой на Нью-Йоркской фондовой бирже, составляет приблизительно 28%. Средний портфель, составленный из двух случайно выбранных акций, будет иметь меньшее стандартное отклонение -- около 25%. Если число акций в портфеле довести до 10, то риск такого портфеля снижается примерно до 18%. График показывает, что риск портфеля имеет тенденцию к снижению и приближается к некоторому пределу по мере того, как величина портфеля увеличивается. Портфель, состоящий из всех акций, который принято называть рыночным портфелем, должен был бы иметь стандартное отклонение около 15,1%. Таким образом, почти половина риска, присущего средней от дельной акции, может быть исключена, если акции будут находиться в портфеле, состоящем из 40 или более акций. Тем не менее некоторый риск всегда остается, как бы широко ни был диверсифицирован портфель.

Та часть риска акций, которая может быть исключена путем диверсификации акций в портфеле, называется диверсифицируемым риском (синонимы: несистематический, специфический, индивидуальный); та часть риска, которая не может быть исключена, называется недиверсифицируемым риском (синонимы: систематический рыночный).

Специфический фирменный риск связан с такими явлениями, как изменения в законодательстве, забастовки, удачная или неудачная маркетинговая программа, заключение или потеря важных контрактов и с другими событиями, которые имеют последствия для конкретной фирмы. Воздействие таких событий на портфель акции можно исключить путем диверсификации портфеля. В этом случае неблагоприятные явления в одной фирме будут перекрываться благоприятным развитием событий в другой фирме. Существенно важным при этом является то, что значительная часть риска всякой отдельной акции может, быть исключена путем диверсификации.

Рыночный риск обусловлен наличием факторов, которые оказывают влияние на все фирмы. К таким факторам относятся война, инфляция, спад производства, повышение процентных ставок и др. Поскольку такие факторы действуют на большинство фирм в одном и том же направлении, то рыночный или систематический риск не может быть устранен путем диверсификации.

В 1964 г. У. Шарпом была предложена однофакторная рыночная модель доходности актива. Он сформулировал и обосновал утверждение о том, что доходность любого капитального финансового актива, обращающегося на фондовом рынке, точно коррелирует с некоторым фактором, присущим данному рынку. В качестве такого фактора может быть выбран уровень доходности рыночного индекса.

Рыночный индекс - это взвешенная сумма курсов наиболее важных для рынка ценных бумаг, а доходность рыночного индекса представляет собой их усредненную доходность.

Одним из наиболее широко известных рыночных индексов в США является S&P 500, который представляет собой средневзвешенную величину курсов акций 500 наиболее крупных компаний, а наиболее часто цитируемым рыночным индексом является индекс Доу - Джонса {DJIA).

В России наиболее известным является индекс РТС , определяемый по акциям наиболее крупных российских компаний.

Рыночный портфель - совокупность всех акций, обращающихся на фондовом рынке. Однако в связи с тем, что точно определить структуру рыночного портфеля не удается, в качестве рыночного портфеля используют рыночный индекс.

В рыночной модели предполагается, что доход по акции связан с доходом по рыночному индексу следующим образом:

где г,-, г м - фактические доходности акции данного вида и рыночного индекса в определенные моменты времени;

cw - ордината точки пересечения прямой с вертикальной осью;

Р/м - величина наклона прямой;

?/л/ - величина случайной ошибки.

Коэффициент наклона рыночной модели часто называют коэффициентом бета (или просто бетой).

Рыночный индекс г м в определенной степени отражает состояние экономики в целом, а рыночная модель показывает, насколько доходность ценной бумаги соответствует экономической динамике страны.

На основе выборочных наблюдений определяется характеристическая линия данной ценной бумаги:

где тi = М(г г), г м - ожидаемая доходность акции данного вида и рыночного портфеля соответственно:

Коэффициенты а, и (3, рассчитываются по формулам

где GjM - ковариация между доходностью i-и ценной бумаги и доходностью рыночного индекса;

7 М - среднее значение доходности индекса;

g 2 m -- дисперсия доходности индекса.

Диверсификация

Исходя из рыночной модели, общий риск ценной бумаги i, измеряемый ее дисперсией о 2 , состоит из двух частей: 1) рыночный (или систематический) риск; 2) собственный, нерыночный (или несистематический) риск:

где g 2 m - дисперсия доходности рыночного индекса;

(3 2 а^ - рыночный риск ценной бумаги i; а 2 - собственный риск ценной бумаги i, мерой которого является дисперсия случайной погрешности е ш .

Общий риск портфеля. Если долю фондов инвестора, вложенную в ценную бумагу i данного портфеля р , обозначить через Xi, то доходность портфеля

Таким образом, рыночная модель портфеля является прямым обобщением рыночных моделей отдельных ценных бумаг.

Общий риск портфеля есть

г Д е Pp=(Z-*.P) 2 -

Предполагая, что случайные отклонения доходности ценных бумаг являются некоррелированными, имеем а 2 ер = x 2 G 2 Fi .

Таким образом, общий риск портфеля состоит из двух компонентов, аналогичных двум компонентам общего риска отдельных ценных бумаг. Эти компоненты также носят название рыночного риска (P^cj^) и собственного риска ().

Рыночный риск портфеля. Чем более диверсифицирован портфель (т. е. чем большее количество ценных бумаг в него входит), тем меньше каждая доля x t . Так как коэффициент бета портфеля является средним значением коэффициентов бета ценных бумаг, входящих в портфель, то значение (3 ; , при диверсификации не меняется существенным образом. Можно утверждать, что диверсификация приводит к усреднению рыночного риска.

Собственный риск портфеля. Если предположить, что во все ценные бумаги инвестировано одинаковое количество средств, то доля х { составит VN, а уровень собственного риска будет равен

Значение, находящееся внутри круглых скобок последнего выражения, является средним собственным риском ценных бумаг, образующих портфель. Но собственный риск портфеля в N раз меньше данного значения. Если портфель становится более диверсифицированным, то количество бумаг в нем (N) становится больше. Это означает, что величина VN уменьшается, что приводит к уменьшению собственного риска портфеля.

Можно утверждать, что диверсификация существенно уменьшает собственный риск.

Таким образом, увеличение диверсификации может привести к снижению общего риска портфеля. Это происходит вследствие сокращения собственного риска портфеля, в то время как рыночный риск портфеля остается приблизительно таким же. Рис. 13.13 показывает, как диверсификация приводит к снижению собственного риска и усреднению рыночного риска.

Рис. 13.13. Риск и диверсификация Упражнение 13.3. Рыночная модель портфеля имеет вид

Какой будет ожидаемая доходность портфеля, если ожидаемая доходность на индекс рынка составляет 12 %?

Ответ: 12,3 %.

Упражнение 13.4. Портфель составлен из трех ценных бумаг, характеристики которых представлены в табл. 13.11

Таблица 13.11

Исходные данные для упражнения 13.4

Вычислите общий риск портфеля, если стандартное отклонение доходности рыночного индекса равняется 18%.

Ответ: 19,7 %.А

Пример 13.11. Рассмотрим два портфеля: один, состоящий из четырех ценных бумаг; а второй - из десяти. Все ценные бумаги имеют бета-коэффициент, равный единице, и собственный риск в 30 %. В обоих портфелях доли всех ценных бумаг одинаковы. Вычислим общий риск обоих портфелей, если стандартное отклонение доходности индекса рынка составляет 20 %.

Т Пусть N - число ценных бумаг в портфеле, тогда доля х,- составит 1 IN.

Уровень собственного риска портфеля будет равен

Бета портфеля: $ р = 1. Общий риск портфеля:

Стандартное отклонение доходности первого портфеля (N= 4):

Стандартное отклонение доходности второго портфеля (N= 10):

Пример 13.12. Рассмотрим две ценные бумаги А и В с коэффициентами бета, равными = 1,2 и (3 5 = 0,8; собственными рисками су 2 а = 37 и а 2 в =23. Дисперсия доходности рыночного индекса 2 м =64.

Т Значения дисперсии доходности для ценных бумаг А и В есть: с^ = (1,2 2 64) + 37 = 129 и о 2 = (0,8 2 64) + 23 = 64.

a) Портфель, состоящий из двух ценных бумаг. Рассмотрим комбинацию ценных бумаг А и В в портфеле, образованном вложением равного количества денег инвестора в каждую ценную бумагу, т. е. Хд=Хв = 0,5.

Бета данного портфеля:

Дисперсия доходности портфеля: (1,0 2 64) + 15 = 79.

Данное выражение показывает общий риск портфеля, состоящего из двух ценных бумаг.

b) Портфель, состоящий из трех ценных бумаг. Добавим к двум ценным бумагам А и В третью (Q ценную бумагу с р с = 1 и а ес = 30. Сформируем портфель, состоящий из трех ценных бумаг, взятых в равных пропорциях (х А =хв = х с = 0,33).

Дисперсия доходности ценной бумаги С есть

Бета портфеля:

Таким образом, увеличение диверсификации не привело к изменению уровня рыночного риска. Вместо этого оно привело к усреднению рыночного риска.

Дисперсия случайного отклонения доходности портфеля:

Отметим, что дисперсия случайного отклонения доходности портфеля, состоящего из трех ценных бумаг, меньше дисперсии доходности портфеля, состоящего из двух ценных бумаг (т. е. 10

Доходность портфеля, состоящего из трех ценных бумаг, имеет дисперсию

Это выражение показывает общий риск портфеля, значение которого меньше, чем значение общего риска портфеля, состоящего из двух ценных бумаг (74

Для определения риска портфеля можно также использовать формулу, предложенную Марковицем:

тогда дисперсия доходности портфеля, состоящего:

a) из двух ценных бумаг: а 2 = х 2 А а 2 А + х 2 в (5 2 в + "1х А х в $ А $ в (5 2 м = = 0,5 2 129 + 0,5 2 64 + 2 0,5 0,5 1,2 0,8 64 = 79;

b) трех ценных бумаг: а 2 = х А о 2 + х 2 в а 2 в + х 2 с

2x a x c $ a $ c g 2 m + 2х в х с $ в $ c g 2 m = 0,33 2 129 + 0,33 2 64 + 0,33 2 94 + + 2 0,33 0,33 1,2 0,8 64 + 2 0,33 0,33 1,2 1,0 64 + + 2 0,33 0,33 0,8 1,0 64 = 74. А

Бета-коэффициент. Для измерения рыночного риска актива (портфеля) используется величина бета. Она показывает зависимость между доходностью актива (портфеля) и доходностью рынка. Доходность рынка - это доходность рыночного портфеля.

Поскольку величина бета определяется по отношению к рыночному портфелю, то бета самого рыночного портфеля равна единице, так как ковариация доходности рыночного портфеля с самой собой есть ее дисперсия, отсюда

где Рд/ - бета рыночного портфеля.

Бета актива (портфеля) без риска равна нулю, потому что нулю равна ковариация доходности актива (портфеля) без риска с доходностью рыночного портфеля.

Величина (3 актива (портфеля) говорит о том, насколько его риск больше или меньше риска рыночного портфеля.

Если для акции некоторой компании:

  • |(3/| = 1, то доходность этой акции в среднем совпадает с доходностью рыночного портфеля, или, с другой стороны, акции данной компании имеют среднюю степень риска, сложившуюся на рынке в целом (такие акции называются среднерисковыми);
  • |(3,| > 1, то доходность этой акции растет в среднем быстрее, чем по рыночному портфелю, или, с другой стороны, акции данной компании более рискованные, чем в среднем на рынке (такие акции называются агрессивными). Такие акции следует иметь в своем портфеле, когда ожидается рост доходности рыночного портфеля. Они могут обеспечить инвестору более высокий уровень доходности, чем в среднем по рынку;
  • |(3,|

Бета может быть как положительной, так и отрицательной величиной.

  • (3, > 0, то доходность бумаг данного вида колеблется в такт с рынком;

Активы с отрицательной бетой являются ценными инструментами для диверсификации портфеля, поскольку в этом случае можно построить портфель с «нулевой бетой», который не будет нести риска.

Рассмотрим портфель из акций двух видов. Ожидаемая доходность такого портфеля и ее дисперсия есть:

Из формулы для дисперсии следует, что уменьшение риска портфеля по сравнению с риском вложений в каждый вид ценных бумаг зависит от степени коррелированности р 12 доходности этих ценных бумаг, а также от выбора структуры портфеля. Можно показать, что при коэффициенте pi 2 = -1 существует структура портфеля с нулевым риском.

Действительно, из условий

следует, что портфель, содержащий рисковые бумаги с отрицательной корреляцией p l2 = -1 в пропорциях

имеет нулевой риск. Доходность такого безрискового портфеля равна

Пример 13.13. Имеется портфель, состоящий из двух ценных бумаг, характеристики которых приведены в табл. 13.12.

Таблица 13.12

Исходные данные для примера 13.13

Для различных уровней корреляции этих ценных бумаг определим максимальное и минимальное значения стандартного отклонения доходности портфеля.

Т Из выражения дисперсии доходности портфеля

следует: при p J2 = 1 имеем max а р = x t ai + х 2 а 2 - 0,35 20 + 0,65 х х 25 = 23,25 %; при р 12 = -1 имеем min = x 0 -x 2 a 2 | = 0,65 25 - -0,35 20 = 9,25 %. А

Пример 13.14. Рассматриваются две акции: акция 1, акция 2. Пусть известны индекс РТС и курсы акций на конец месяца (табл. 13.13).

Таблица 13.13

Исходные данные для примера 13.14, долл.

Период наблюдения

Индекс РТС

Курс акции 1

Курс акции 2

Сентябрь

При определении доходности будем учитывать только изменения курса акций (без учета дивидендов).

Преобразуя данные табл. 13.13, определим доходности индекса РТС и акций обоих видов в течение указанного периода (табл. 13.14).

Например, доходность в феврале.

Индекс РТС: 100 (70,03 - 55,12)/55,12 = 27,05 %;

Курс акции 1: 100 (0,099 - 0,071)/0,071 = 39,44 %;

Курс акции 2: 100 (0,044 - 0,027)/0,027 = 62,96 %.

Фактическая доходность для примера 13.14, %

Период наблюдения

Индекс РТС

Курс акции 1

Курс акции 2

Сентябрь

Преобразование данных табл. 13.13 в данные табл. 13.14 удобно производить с использованием электронных таблиц Excel. Используя пакет Анализ данных Excel (инструмент Регрессия ), получим характеристические линии соответствующих акций:

где nij, Т м - ожидаемая доходность /-й акции и рыночного портфеля соответственно.

  • акция 1: ai = 4,17; pi = 0,93; Rf = 0,72; o e i = 12,96;
  • акция 2: a 2 = 1,60; (3 2 = 1,19; R% = 0,77; о е 2 = 14,65.

На рис. 13.14 представлены графики характеристических линий обеих акций.

Полученные уравнения можно использовать для прогнозирования ожидаемой доходности акций в зависимости от прогноза ожидаемой доходности по фондовому рынку.

Анализ полученных результатов.

Расчетные значения коэффициентов альфа показывают, что при нулевой доходности фондового рынка большая доходность достигается по акциям 1:


Рис. 13.14.

Из сравнения значений коэффициентов бета для акций обоих видов следует, что с ростом доходности фондового рынка доходность по акциям 2 будет возрастать быстрее, чем по в среднем по рынку, а при падении доходности фондового рынка доходность по акциям 1 будет падать медленнее, чем в среднем по рынку:

  • Коэффициенты Я 2 = 0,72 и Я 2 = 0,77 показывают долю рыночного риска в общем риске по соответствующим акциям в форме дисперсии, а доля нерыночного риска: (1 - Rf ) = 1 - 0,72 = 0,28 и(1 - Д 2)= 1 - 0,77 = 0,23.
  • Из рис. 13.14 следует, что с ростом доходности фондового рынка ожидаемая доходность акций обоих видов возрастает. При относительно небольшой доходности фондового рынка большую ожидаемую доходность обеспечивают акции 1. В точке пересечения прямых ожидаемые доходности по акциям обоих видов совпадают. При дальнейшем увеличении ожидаемой доходности фондового рынка большую доходность обеспечивают акции 2, для которых коэффициент бета больше единицы.

Анализ полученных данных показывает, что при ожидаемом уменьшении доходности рыночного портфеля (соответствующего биржевого индекса) целесообразнее иметь в портфеле акции с коэффициентом бета меньше единицы, а при прогнозируемом увеличении доходности рыночного портфеля - акции с коэффициентом бета больше единицы. ?

Информация о значениях коэффициентов а, (3, R 2 и о Е для различных ценных бумаг, определенных подобным образом в зависимости от выбранного рыночного портфеля и установленного периода наблюдения, регулярно публикуется в специальных бюллетенях.

Пример 13.15. Акции компании имеют бета-коэффициент, равный 1,20. В течение пяти лет акции этой компании и индекс рынка демонстрировали доходность, представленную в табл. 13.15.

Таблица 13.15

Исходные данные о доходности для примера 13.15, %

Индекс рынка

Предполагая, что коэффициент смещения рыночной модели равен 0 %, вычислим стандартное отклонение случайной погрешности рыночной модели за данный период.

ТПо условию ожидаемые доходности акций компании задаются выражением т, = 1,2гм. В табл. 13.16 приведены значения ожидаемой и фактической доходности за рассматриваемый период.

Таблица 13.16

Расчетная таблица доходности акций для примера 13.15

Стандартное отклонение случайной погрешности за данный период: ?о 2 /5 = 4,39/5 = 0,88. А