Теория оптимального распределения ресурсов суть. Философско-методологическое значение теории оптимального распределения ресурсов. Особенности жизни, деятельности, вклада в науку, экономико-математических теорий Л.В. Канторовича. Анализ начального этапа ис

«В 1937 г. директором НИИ математики и механики, созданного при университете в 1932 г., стал В. И. Смирнов, который передал руководство отделом математики Л. В. Канторовичу . С этой новой должностью были связаны большие изменения во всей его жизни. Всё началось с обычной научной консультации производственникам.

В 1938 г. к Канторовичу обратились сотрудники Фанерного треста, изучавшие способы повышения полезной загрузки производственных мощностей. По математической классификации у них возникла экстремальная задача - задача на максимум некоторой простой функции от большого числа переменных. Консультируя их, Леонид Витальевич сразу увидел (это просто), что классические методы решения в этой задаче не могут дать эффективного решения. Он разработал и предложил новый, более эффективный метод. В основе его метода было использование специальных величин (множителей), обобщающих хорошо известные в математике множители Лагранжа . Но сама консультационная задача была только толчком к исследованиям. Канторович стал думать о похожих ситуациях и вскоре увидел многочисленные применения таких моделей и таких методов в различных экономических и технико-экономических ситуациях. Анализируя свойства упомянутых множителей в этих моделях, он провёл замечательные аналогии между множителями и экономическими показателями, специфичными для конкретных моделей, своего рода «внутренними ценами» экономических ситуаций, даже таких ситуаций, в которых цен не было. Интересно, что к похожим выводам (без использования математических моделей) пришёл примерно в то же время и ленинградский экономист Виктор Валентинович Новожилов (1892-1970).

Попытаюсь объяснить, что же мог сделать в экономике математик, не владевший даже правильным (и ужасным, по-моему) экономическим языком. Начнём с практического вопроса, одного из тех, которые задавал себе Канторович. Предприятие может увеличить выпуск своей продукции, увеличив при этом себестоимость (то есть затраты на единицу продукции). Выгодно ли это делать, и если да, то в какой мере? Советская экономическая наука и практика отвечали на этот вопрос отрицательно: ни в коем случае.

Как же ответил на этот вопрос Канторович? Если рынок нуждается в данной продукции и платит за неё больше себестоимости данного предприятия, то увеличение выпуска выгодно, вопреки тогдашним экономическим воззрениям. Размер спроса на продукцию устанавливает её граничную («маргинальную») цену и соответствующую ей граничную себестоимость. Выгодно любое производство, себестоимость в котором меньше этой границы. Сейчас это очевидно и элементарно (если в рассмотрение не входят более сложные факторы).

В советские времена «рыночные аргументы» были противопоказаны, а слово «маргинальный» (или «маржинальный») запрещено. Кроме того, объём выпуска продукции диктовался планом, и связывать его с выгодностью не рекомендовалось. Но и в такой ситуации можно позаботиться об эффективности. Представим себе, что данную продукцию выпускают несколько предприятий и себестоимости у них различны и зависят от объема выпуска. И в этом случае найдётся граничное значение себестоимости, определяющее эффективные объёмы выпуска: ни у одного предприятия себестоимость не должна превышать этого граничного значения, а с меньшей себестоимостью предприятие выпускает продукцию только в случае, когда рост её производства невозможен. Это, конечно, самый простой из подобных вопросов. Но уже в нём появляется новый важный показатель - граничная себестоимости продукции. Всё дело в таких показателях. Канторович установил, что такие вспомогательные показатели возникают во многих случаях, где приходится делить ограниченные ресурсы. Они возникают из математического анализа задачи, но оказываются очень полезными для экономического исследования практической ситуации, так как всегда им можно придать ясный (хотя и непривычный) экономический смысл.

Одна из рассмотренных Канторовичем ситуаций - транспортная задача. В ней нужно определить, откуда, куда и сколько везти, если заданы сбалансированные объёмы производства и потребления однородного продукта. Возникающие показатели трактуются как транспортные цены продукта во всех пунктах сети, а перевозка идет только по тем направлениям, где стоимость перевозки равна разности этих цен в пунктах назначения и отправления, причём меньше этой разности стоимость нигде не будет - так уж устроены цены. Получающиеся транспортные цены зависят от конкретной задачи. Они не связаны с условиями производства, но подсказывают экономисту, где при данном спросе и данном наборе себестоимостей выгодно увеличить производство, а где его желательно уменьшить.

В мае 1939 г. Канторович сделал в университете доклад о своих результатах, и с поразительной оперативностью издательство ЛГУ выпустило этот доклад отдельной брошюрой осенью того же года. Почти сразу же Канторович стал работать над развернутым изложением своей теории. Эта работа продолжилась и во время войны. […]

Леонид Витальевич добился того, что в Москве в Госплане СССР было организовано совещание, на котором он изложил свои идеи, но отрицательный итог этого совещания был предопределён. Канторович вспоминал: «Всё говорило о том, что необходимо на определённое время оставить эти работы. Их продолжение становилось опасным - как я узнал впоследствии, мои предположения были небезосновательными. Вариант моей изоляции всерьёз обсуждался».

Разумовский И.В., Л.В. Канторович: «Разумное обобщение даёт больше, чем детальное исследование, в Сб.: Знаменитые универсанты: очерки о питомцах Санкт-Петербургского университета, Том 3, СПб, «Знаменитые универсанты», 2005 г., с. 461-462.

Л.В. Канторович - экономист - внес выдающийся вклад в экономическую науку. С его именем связан естественнонаучный подход к исследованию широкого круга проблем планирования. Л.В. Канторович заложил фундамент современной теории оптимального планирования. Развернутому изложению основных идей этой теории посвящена его капитальная монография “Экономический расчет наилучшего использования ресурсов” . Стержнем этой книги является формулировка основной задачи производственного планирования и динамической задачи оптимального планирования. Указанные задачи достаточно просты, но в то же время учитывают важнейшие черты экономического планирования. Одно из привлекательных качеств состоит в том, что они базируются на схеме линейного программирования и, следовательно, на развитом аналитическом аппарате и обширном наборе эффективных вычислительных средств, часть из которых предложил сам Леонид Витальевич.

Значителен его вклад в проблему ценообразования - одну из коренных, затрагивающую, по существу, все сферы функционирования общества. Л.В. Канторович установил связь цен и общественно-необходимых затрат труда. Он дал определение понятия оптимума, оптимального развития, конкретизировав, в частности, что следует понимать под максимальным удовлетворением потребностей членов общества. Из его положения о неразрывности плана и цен вытекает зависимость общественно-необходимых затрат труда от поставленных целей общества.

Таким образом, цели общества, оптимальный план и цены составляют одно неразрывное целое. Им указаны конкретные условия, при которых объективно обусловленные оценки оптимального плана совпадают с полными (прямыми и сопряженными) затратами труда. Определение перспектив экономики, наличие гигантских “естественных монополий” заставляет сохранить для них расчет, по крайней мере, опорных цен, согласованных и взаимно, и с интересами других отраслей экономики.

Математические модели получили отражение в некоторых курсах политической экономии. В работах Л.В. Канторовича исследовался ряд основных проблем экономической теории и практики хозяйствования. Указывая на недостатки действовавшей экономической системы, Л.В. Канторович подчеркивал, что система экономических показателей должна быть единой, построена по единому принципу. В связи с этим значительную часть своих работ в этой области Леонид Витальевич посвятил разработке и анализу конкретных экономических показателей.

В работах самого Л.В. Канторовича особое внимание было уделено оценке земельных ресурсов и воды, учету этих показателей в (заготовительных) ценах на сельскохозяйственную продукцию. Предложены оригинальные подходы к их расчету (сочетание метода наименьших квадратов и линейного программирования). На этой основе были даны рекомендации по улучшению системы экономических показателей и расчетов в сельском хозяйстве. Значение предложенных им принципов расчета в складывающейся экономической системе только возрастает.

В работах Л.В. Канторовича вскрывается сущность понятия показателя эффективности капиталовложений, показывается его роль в экономических расчетах принятия решений, предлагается методика определения величины этого нормативного показателя. Таким образом, Л.В. Канторович дал убедительное научное обоснование необходимости применения норматива эффективности и на основе оптимизационного подхода дал объективный путь его расчета.

В работе “Амортизационные платежи при оптимальном использовании оборудования” (1965) Л.В. Канторовичем была вскрыта сущность понятия амортизации. Он показал, как можно повысить эффективность использования оборудования, разделив амортизационные платежи на два типа, и с помощью остроумной математической модели указал, как определить численную величину коэффициента амортизационных отчислений. Это изменение позволило сделать ряд принципиальных выводов о необходимости корректировки принятой методики расчета амортизации.

Специальный интерес проявлял Леонид Витальевич к проблемам транспорта. Еще в его первых экономических работах были даны общий анализ транспортной задачи и метод потенциалов для ее решения. Этот метод широко использовался на транспорте (железнодорожном, автомобильном, морском, воздушном) и в органах централизованного снабжения для рационального прикрепления и рациональной организации перевозок. Он, безусловно, сохраняет свое значение и сейчас наряду с широко используемыми методами диспетчерского управления и расчетами маршрутов.

В работах “Об использовании математических моделей в ценообразовании на новую технику” (1968) и “Математико-экономический анализ плановых решений и экономические условия их реализации ” (1971) Л.В. Канторович исследовал проблему эффективной работы транспорта с экономической точки зрения, показал, каковы должны быть транспортные тарифы в зависимости от вида транспорта, груза, расстояний и т. д. В ряде работ им рассматривались и вопросы комплексной транспортной системы - взаимосвязь транспорта с другими отраслями народного хозяйства и распределение перевозок между видами транспорта с учетом экономичности и в особенности энергозатрат. Эти работы сохраняют свое значение и сейчас.

Помимо проблем народнохозяйственного планирования, Л.В. Канторович рассмотрел вопросы, относящиеся к отраслевому планированию. Наиболее простой и часто используемой является предложенная им модель, базирующаяся на транспортной задаче. На ряд более сложных моделей, в частности производственно-транспортной, динамической, декомпозиционной, им указано в работах, посвященных текущему и перспективному отраслевому планированию (“Возможности применения математических методов в вопросах производственного планирования”, 1958) и др. Эти вопросы нашли отражение в исследованиях по отраслевым АСУ.

Большое внимание Леонид Витальевич уделял вопросам рационального использования труда. Им было предложено введение платежей предприятий за использование труда дифференцированных по профессиям, половозрастным признакам и территории. Он указывал также на возможности научного, количественного подхода к социальным проблемам, вопросам совершенствования сферы услуг и др. Вопросы экономического стимулирования рационального использования трудовых ресурсов остаются актуальными и сейчас.

В течение ряда лет и особенно в последние годы Л.В. Канторовича интересовали проблемы эффективности технического прогресса, в частности вопросы внедрения в производство новой техники.

Особый интерес представляет обоснование предложения об установлении двух уровней цен на принципиально новую продукцию в первые годы ее выпуска. Важное значение имел также вывод о необходимости более высоко оценивать вклад в национальный доход технического прогресса и науки, чем это получалось по принятым тогда методам расчета (“Ценообразование и технический прогресс”, 1979).

Л.В. Канторович уделял большое внимание внедрению разработанных им методов в экономическую практику. В первую очередь в этой связи следует отметить цикл работ, посвященных методам рационального раскроя материалов, начатый Леонидом Витальевичем еще в 1939 - 1942 гг. В 1948 - 1950 гг. эти методы были внедрены на Ленинградском вагоностроительном заводе имени Егорова, на Кировском заводе и распространены впоследствии на некоторых других предприятиях. Более широкому распространению методов рационального раскроя способствовал ряд проведенных по инициативе Л.В. Канторовича совещаний.

С 1964 г. по предложению Леонида Витальевича проводилась большая работа по внедрению системных методов расчета оптимальной загрузки прокатных станов в масштабах всей страны.

Являясь членом Государственного комитета по науке и технике, Л.В. Канторович вел большую организационную работу, направленную на совершенствование методов планирования и управления народным хозяйством. Он возглавлял Научный совет ГКНТ по использованию оптимизационных расчетов, состоял членом многих ведомственных советов и комиссий (по ценообразованию, транспорту и др.). Вклад Леонида Витальевича в исследование проблемы эффективности производства и, в частности, проблемы эффективности капитальных вложений исключительно велик.

РЕФЕРАТ

Тема: «Применение методов линейного программирования в

военном деле. Симплекс-метод»

курсанта 2-го курса I взв. 8-й роты

Дальневосточного военного института

им. К.К. Рокоссовского

Верещак Дмитрия Владимировича

ПЛАН

I. Что такое линейное программирование

II. Основные направления использования линейного программирования в военном деле

1.Задачи о перевозках (транспортная) задача

2.Задачи оптимального распределения средств

поражения

III. Симплекс-метод

IV. Заключение

I. ЧТО ТАКОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Каждый человек ежедневно, не всегда осознавая это решает проблему: как получить наибольший эффект, обладая ограниченными средствами.

Наши средства и ресурсы всегда ограничены. Жизнь была бы менее интересной, если бы это было не так. Не трудно выиграть сражение, имея армию в 10 раз большую, чем у противника; Ганнибалу, чтобы разбить римлян при Каннах, командуя вдвое меньшей армией, нужно было действовать очень обдуманно.

Чтобы достичь наибольшего эффекта, имея ограниченные средства, надо составить план, или программу действий. Раньше план в таких случаях составлялся «на глазок» (теперь, впрочем, зачастую тоже). В середине XX века был создан специальный математический аппарат, помогающий это делать «по науке». Соответствующий раздел математики называется математическим программированием. Слово «программирование» здесь и в аналогичных терминах («линейное программирование, динамическое программирование» и т.п.) обязано отчасти историческому недоразумению, отчасти неточному переводу с английского. По-русски лучше было бы употребить слово «планирование». С программированием для ЭВМ математическое программирование имеет лишь то общее, что большинство возникающих на практике задач математического программирования слишком громоздки для ручного счета, решить их можно только с помощью ЭВМ, предварительно составив программу.

Временем рождения линейного программирования принято считать 1939г., когда была напечатана брошюра Леонида Витальевича Канторовича «Математические методы организации и планирования производства». Поскольку методы, изложенные Л.В.Канторовичем, были мало пригодны для ручного счета, а быстродействующих вычислительных машин в то время не существовало, работа Л.В.Канторовича осталась почти не замеченной.

Свое второе рождение линейное программирование получило в начале пятидесятых годов с появлением ЭВМ. Тогда началось всеобщее увлечение линейным программированием, вызвавшее в свою очередь развитие других разделов математического программирования. В 1975 году академик Л.В.Канторович и американец профессор Т.Купманс получили Нобелевскую премию по экономическим наукам за «вклад в разработку теории и оптимального использования ресурсов в экономике».

Эти премии получили свое название в честь их учредителя – известного химика и изобретателя Альфреда Нобеля, они должны были присуждаться за научные открытия в области физики, химии, физиологии или медицины, за литературные произведения, «отражающие человеческие идеалы», а так же тем, кто «внесет весомый вклад в сплочение народов, уничтожение рабства, снижение численности существующих армий и содействие мирной договоренности». Математикам премия не предназначалась. Однако в 1969 году Шведский банк по случаю 300-летия со дня своего образования учредил премию памяти А.Нобеля – по экономическим наукам. Она то и была присуждена в 1975 году Л.В.Канторовичу и Т.Купмансу за создание новой математической науки (получившей название линейного программирования) и применение этой теории в экономике.

В автобиографии, представленной в Нобелевский комитет, Леонид Витальевич Канторович рассказывает о событиях, случившихся в 1939 году. К нему, 26-летнему профессору-математику, обратились за консультацией сотрудники лаборатории планерного треста, которым нужно было решить задачу о наиболее выгодном распределении материала между станками. Эта задача сводилась к нахождению максимума линейной функции, заданной на многограннике. Максимум такой функции достигался в вершине, однако число вершин в этой задаче достигало миллиарда… Поэтому простой перебор вершин не годился. Леонид Витальевич писал: «оказалось, что эта задача не является случайной. Я обнаружил большое число разнообразных по содержанию задач, имеющих аналогичный математический характер: наилучшее использование посевных площадей, выбор загрузки оборудования, рациональный раскрой материала, распределение транспортных грузопотоков… Это настойчиво побудило меня к поиску эффективного метода их решения». И уже летом 1939 года была сдана в набор книга Л.В.Канторовича «Математические методы организации и планирования производства», в которой закладывались основания того, что ныне называется математической экономикой.

Но вернемся в 1939 год. Говорят, что истина рождается ересью и увы, так случилось и с идеями Л.В.Канторовича в области экономики. Они не встретили понимания в момент их зарождения, были объявлены ересью, и его работа была прервана.

Концепции Леонида Витальевича вскоре после войны были переоткрыты на западе. Американский экономист Т.Купманс в течении многих лет привлекал внимание математиков к ряду задач, связанных с военной тематикой. Он активно способствовал тому, чтобы был организован математический коллектив для разработки этих проблем. В итоге было осознано, что надо научиться решать задачи о нахождении экстремумов линейных функций на многогранниках, задаваемых линейными неравенствами. По предложению Купманса этот раздел математики получил название линейного программирования.

Американский математик А.Данциг в 1947 году разработал весьма эффективный конкретный метод численного решения задач линейного программирования (он получил название симплекс метода). Идеи линейного программирования в течении пяти шести лет получили грандиозное распространение в мире, и имена Купманса и Данцига стали повсюду широко известны.

Примерно в это время Купманс узнал, что еще до войны в далекой России уже было сделано нечто похожее на разработку начал линейного программирования. Как легко было бы Данцигу и Купмансу проигнорировать эту информацию! Маленькая книжица, изданная ничтожным тиражом, обращенная даже не а экономистам, а к организаторам производства, с минимумом математики, без четко описанных алгоритмов, без доказательств теорем – словом, стоит ли принимать такую книжку во внимание… Но Купманс настаивает на переводе и издании на западе книги Канторовича. Его имя и идеи становятся известны всем. Воздадим должное благородству американского ученого!

А самому Леониду Витальевичу – как естественно было бы ему, испытав первые грозные удары ретроградов, остеречься от «грехов» молодости, забыть про всю эту экономику и вернуться к математике. Но Л.В.Канторович продолжает писать математические работы, навеянные экономическими идеями, участвует и в конкретных разработках на производстве. При этом (одновременно с Данцигом, но не зная его работ) он разрабатывает метод, позже названный симплекс-методом. Как только в 50-е годы образуется маленький просвет и кое что из запретного становится возможным, он организует группу студентов на экономическом факультете ЛГУ для обучения методам оптимального планирования. А начиная с 1960 года Леонид Витальевич занимается только экономической и связанной с нею математической проблемами. Его вклад в этой области был отмечен Ленинской премией в 1965 году (присуждена ему совместно с В.С.Немчиновым и В.В.Новожиловым) и, как уже говорилось, Нобелевской премией в 1975 году.

II .ОСНОВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ В ВОЕННОМ ДЕЛЕ.

Наиболее распространенными направлениями использования линейного программирования в военном деле являются:

Задача о перевозках (транспортная задача)

Задача на распределение сил и средств (распределение сил и средств поражения по целям, распределение сил и средств разведки и др.)

1. ЗАДАЧИ О ПЕРЕВОЗКАХ (ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА).

Эти задачи являются исторически одними из первых, для решения которых использовалось линейное программирование. В зависимости от выбранного критерия эффективности различают транспортные задачи по пробегу, по стоимости, по времени, совместно по критериям пробега и стоимости, с ограничениями по пропускной способности дорог и транспорта, задачи в сетевой постановке и др.

Сформулируем в общем виде транспортную задачу линейного программирования по критерию стоимости. Эта задача имеет значение тогда, когда время не является определяющим фактором при организации перевозок.

Пусть имеется m складов, в которых сосредоточен некоторый однородный продукт (ГСМ, боеприпасы и т.д.) в количествах соответственно а i (i=1,2,…,m) единиц. Имеется n потребителей этого продукта в количествах соответственно b j (j=1,2,…,n) единиц. На основании опытов и расчетов известно, что на доставку одной единицы продукта с i-того склада j-тому потребителю затрачивается с ij денежных единиц.

Все значения c ij являются постоянными величинами. Перечисленные исходные данные помещены в таблице 1.

Обозначим через x ij ³0 (i=1,2,…,m; j=1,2,…n) количество продукта, планируемого для доставки с i-того склада j-тому потребителю. Естественно, что если x ij =0, то доставка продукта с i-того склада j-тому потребителю не планируется. План обеспечения всех потребителей определяется таблицей (матрицей):

Таблица 1.

Склады	Потребители				Запасы на складах
1
…
Потребность

Очевидно, можно предложить большое число планов (1) обеспечения потребителей, но при выборе любого из них должны быть учтены условия:

(2)

(3)

Выражения (2) определяют, что с любого склада можно взять продукта не более имеющихся там запасов. Выражения (3) означают, что каждый потребитель обеспечивается полностью его заявке. По смыслу задачи должно выполняться условие:

Последнее выражение означает, что запасов на складах достаточно для снабжения всех потребителей.

Суммарная стоимость перевозок для любого выбранного плана (1) определяется выражением:

(4)

Транспортная задача линейного программирования по критерию стоимости формулируется следующим образом.

Найти такие значения x ij (т.е. найти такой план перевозок (1)), удовлетворяющий условиям (2), (3), при которых суммарная стоимость перевозок (4) будет минимальной.

При больших m и n эта задача решается на ЭВМ. Для этого нужно ввести в машину исходные данные, помещенные в таблице 1 и воспользоваться разработанной программой. При небольших m и n задача может быть решена вручную с использованием общих методов решения. Для значений m и n до 5-6 задачу часто удается решить путем прикидочных расчетов, перебором вариантов и логических размышлений.

Задача. Для обеспечения ГСМ четырех танковых соединений имеется три склада. Известны запасы ГСМ и потребности в нем соединений. Определение стоимости доставки одной тонны ГСМ из каждого склада в любое соединение. Все исходные данные записаны в таблице 2.

Сформулировать задачу линейного программирования для данных условий и определить такой план снабжения ГСМ соединений, при котором суммарный расход на его провозку будет минимальным.

Решение: Обозначим через x ij (i=1,2,3; j=1,2,3,4) количество ГСМ, планируемых для доставки с i-того склада (i=1,2,3) j-тому соединению (j=1,2,3,4).

Таблица 2.

Склады	Соединения				Запасы ГСМ на складах
1
2
Потребность в ГСМ

Выбор планов зависит от запасов ГСМ на складах и потребностей в нем соединений, что математически определяется выражениями:

(2 1)

(3 1)

Суммарные расходы на перевозку ГСМ определяются линейными выражениями:

Требуется определить такие значения x ij (выбрать такой план) удовлетворяющий выражениям (2 1) и (3 1), которые критерий эффективности обращают в минимум. Так формулируется задача линейного программирования для данных условий.

Эта задача решается элементарными подсчетами и рассуждениями.

Отметим в столбцах звездочками минимальные значения стоимости перевозки одной тонны ГСМ. В каждое соединение нужно планировать доставку из того склада, для которого эта стоимость будет наименьшей или близкой к ней, но с учетом расходов на доставку ГСМ и в другие соединения. Очевидно, в 1-е и 4-е соединение целесообразно завозить ГСМ полностью из 1-го склада, поэтому целесообразно выбрать x 11 =350, x 14 =500. Во второе соединение выгодно доставить горючее целиком с 3-го склада. Но тогда будут большие расходы при доставке ГСМ в 3-е соединение из 2-го склада. Поэтому целесообразно выбрать x 13 =50, x 33 =350, т.е. завести горючее в 3-е соединение с 1-го и 3-го складов, а 200 т. для 2-го соединения завести из склада, x 22 =200, x 32 =250. Результаты расчетов занесены в таблице 2, по которой удобно проверить выполнение условий (2 1), (3 1), найдя суммы x ij по строкам и столбцам.

При таком плане расходы будут минимальными:

Для сравнения, какую можно иметь экономию в средствах, выбрав оптимальный план, рассмотрим один из возможных планов:

x 11 =350, x 12 =450, x 13 =x 14 =0, x 21 =x 22 =x 23 =0,

x 24 =300, x 31 =x 32 =0, x 33 =400, x 34 =200

При этом плане стоимость перевозок будет равна:

Она больше на 1950 единиц K min , что составляет более чем 30%.

Полученное оптимальное решение является основой для применения объективного решения на снабжение ГСМ соединений с учетом конкретной обстановки.

2.ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СРЕДСТВ ПОРАЖЕНИЯ.

Задачи оптимального распределения средств поражения в общем виде формулируются так: имеется некоторое количество средств поражения и целей. Требуется так распределить средства поражения по целям, чтобы общий эффект применения был в определенном смысле оптимален.

Поражение противника является одним из важных элементов боевых действий. Поэтому решение задач на поражение является важным этапом при планировании и управлении боевыми действиями.

Различают два основных типа задач целераспределения:

Для средств поражения, находящихся в обороне;

Для средств поражения нападения;

Распределение средств поражения обороны осуществляется в ходе боевых действий, выявляемые цели и возникающие условия заранее неизвестны и во многом определяются противником. Расчеты нужно производить очень быстро, что возможно при наличии современных вычислительных средств.

Распределение средств нападения по выявленным целям может быть спланировано заранее на основе расчетов. Однако резкой границы между этими вариантами нет потому, что в обоих случаях выявляются новые цели, изменяются условия и потребуется производить перерасчеты.

Задача распределения средств поражения при ведении боевых действий в полной мере очень сложна и требует учета большого числа факторов. Некоторые же частные задачи успешно решаются с помощью линейного программирования.

Рассмотрим первую из таких задач. Имеется m различных средств поражения и n целей. Принимаются следующие допущения:

Число средств поражения не превосходит числа целей m£n;

Цели имеют разную важность, определяемую коэффициентом важности k j (j=1,2,…,n);

За каждой целью не может быть закреплено более одного средства поражения, то есть должно быть обстреляно максимальное число целей;

Известны вероятности p ij поражения i-ым средством j-ой цели, которые составляют таблицу вероятностей поражения :

(5)

Таблица вероятности поражения вычисляется по соответствующим формулам теории стрельбы.

Закрепление или не закрепление i-того средства поражения за j-той целью выражается величиной x ij , принимающей значение 1, когда имеется закрепление, и 0, когда его нет.

План распределения средств по целям будет определяться таблицей (таблицей 1). За критерий эффективности в общем случае выберем взвешенное математическое описание числа уничтоженных целей, которое определяется выражением

(6)

где k j (j=1,2,…,m) – коэффициенты, определяющие важность целей. Если цели имеют одинаковую важность, то k 1 =k 2 =…=k m =1. При этих значениях выражение (6) является математическим ожиданием числа уничтоженных целей. Требование, чтобы каждое средство было закреплено за какой либо целью, определяется выражениями

(i=1,2,…,m) (7)

Условия, что за каждой целью закрепляется не более одного средства поражения, определяются выражением

(j=1,2,…,n) (8)

В случае знака равенства во всех выражениях (8) имеет место m=n, в противном случае m

Найти такие целые значения x ij ³0 (найти такой план), удовлетворяющие условиям (7) и (8), которые обращают критерий эффективности (6) в максимум.

Как видно, эта задача линейного программирования, причем транспортного типа. В отличие от задачи на перевозку здесь ищутся значения x ij , принимающие только два возможных значения: 0 и 1.

При малых m и n задачи целераспределения могут решаться путем элементарных расчетов и рассуждений.

Задача. Разведкой обнаружены три равноценные цели противника. Для их уничтожения выделяется командованием три средства поражения. Известны вероятности поражения каждой цели любым средством (таблица 3).

Таблица 3.

Средства поражения				Количество поражения
1
2
Количество целей

Требуется сформулировать задачу линейного программирования по критерию математического ожидания для данных условий и определить оптимальный план целераспределения.

Решение. Критерий эффективности в этой задаче согласно формуле (6) определяем выражением:

Здесь положено k 1 =k 2 =k 3 =1, т.к. все цели равноценны. Выражения (7) и (8) для условия задачи будут иметь вид:

(10)

(11)

Найти такие целые положительные корни x ij уравнений (10) и (11), при которых критерий эффективности (9) примет максимальное значение.

Для определения оптимального плана найдем в столбцах таблицы 3 максимальные значения вероятностей и отметим их звездочками. Очевидно, что за второй целью нужно закрепить 3-е средство (x 32 =1). Первое средство одинаково целесообразно закрепить за 1-ой или 3-ей целью. Но так как ближайшее значение к максимальной вероятности для 3-ей цели больше, чем для 1-ой, то целесообразно 1-ое средство закрепить за 1-ой целью (x 11 =1), a 2-oe средство за 3-ей целью (x 23 =1).

Максимальное значение математического ожидания числа пораженных целей будет равно:

При оптимальном плане будет поражено в среднем две цели. Для сравнения рассмотрим следующий план: x 13 =1, x 22 =1 и x 31 =1. При этом плане средние потери будут равны

Таким образом, только за счет оптимального целераспределения эффективность средств поражения может быть значительно повышена (в данном примере почти в два раза). Этот факт имеет не только экономическое значение, но и повышает оперативность выполнения задачи на поражение цели.

III. СИМПЛЕКС-МЕТОД.

Симплекс-метод решения задачи линейного программирования. Пусть дана система n линейных уравнений с m переменными (n

(3.22)

Предположим, что среди детерминантов n-го порядка, которые можно составить из коэффициентов n первых столбцов, отличен от нуля.

Тогда систему (3.22) можно разрешить относительно переменных x 1 , x 2 , …,x n которые, как и раньше, будем называть базисными переменными. В результате решения системы (3.22) базисные переменные будут выражены через остальные переменные x n+1 , x n+2 , …, x m , называемые свободными. Число свободных переменных k=m-n. Мы имеем решение системы (3.22) в виде:

(3.23)

Свободные переменные остаются произвольными. Давая им различные значения, получим все решения системы (3.22). Одно из решений найдем, если все свободные переменные приравняем к нулю. Тогда получим:

x 1 =b 1 , x 2 =b 2 , …, x n =b n ; x n+1 =x n+2 =…=x m =0

Если все числа b 1 , b 1 , …,b n неотрицательны, то мы будем иметь неотрицательное решение системы (3.22), соответствующее угловой точке (вершине) многогранника неотрицательных решений, это так называемое опорное решение.

Решить систему относительно базисных переменных x 1 , x 2 , …,x n , используя свойства определителей n-го порядка, очень удобно. Мы будем решать эту систему путем последовательного исключения неизвестных.

Запишем в виде таблицы коэффициенты уравнений (3.24) и элемент a 11 заключим в рамку

(3.27)

коэффициенты от неизвестных свободных членов отделим чертой, а элемент a 11 , заключенный в рамочку, будем называть разрешающим элементом.

Выпишем соответствующую таблицу для коэффициентов уравнений (3.26)

(3.28)

Коэффициент a’ 21 равен нулю

Из уравнения (3.25) следует, что

На таблице (3.27) соединим элемент a 2j c разрешающим элементом прямой линией. Рассмотрим прямоугольник, диагональю которого является проведенная линия. Эту диагональ будем называть первой диагональю. Второй диагональю является прямая, соединяющая элементы a 21 и a 1j , обведенные кружком. Как следует из формулы (3.29), чтобы получить элемент a 2j , нужно из произведения элементов первой диагонали вычесть произведение второй диагонали. Остальные элементы второй строки вычисляются по этому же правилу. Это правило напоминает правило вычисления детерминантов второго порядка, поэтому будем коротко называть его D-правилом.

Переход от таблицы коэффициентов (3.27) к таблице (3.28), совершаемый с помощью D-правила, будем называть симплекс преобразованием или S-преобразованием одной таблицы в другую.

Очевидно, для выполнения S-преобразования с помощью первого уравнения необходимо, чтобы коэффициент a 11 ¹0 в противном случае переменная x 1 в первом уравнении будет отсутствовать.

Если теперь возьмем первое уравнение системы (3.22) и третье и проделаем такие же вычисления, то исключим x 1 из третьего уравнения. Продолжая такие же вычисления, исключим x 1 из всех уравнений, кроме первого. Вычисления будем производить в следующем порядке. Сначала запишем таблицу коэффициентов системы (3.22)

(3.30)

Если a 11 ¹0, и мы хотим исключить x 1 с помощью первого уравнения, то принимаем элемент a 11 за разрешающий и в таблице (3.30) обводим его рамкой. Строка и столбец, в которых находится разрешающий элемент, называются соответственно разрешающей строкой и разрешающим столбцом. В таблице (3.30) это первая строка и первый столбец.

Применяя симплекс преобразование, перейдем к новой таблице. В новой таблице элементы разрешающей строки переписываются без изменений. Все элементы разрешающего столбца, кроме самого разрешающего элемента заменяются нулями.

Остальные элементы новой таблицы вычисляются по D-правилу. Например, для вычисления элемента a’ ij соединяем элемент a ij на таблице (3.30) с элементом a 11 прямой. В результате имеем первую диагональ. Вторая диагональ получается от соединения элементов a i1 и a 1j , обведенных на таблице кружками. По D-правилу имеем

При выполнении симплекс преобразования диагонали, изображенные на таблице (3.30), на самом деле проводить не нужно: они легко выделяются в уме.

Выполнив S-преобразование над таблицей (3.30), мы получим новую таблицу

(3.31)

Этой таблице соответствует система уравнений:

(3.32)

Система (3.32) эквивалентна первоначальной системе (3.22), но в системе (3.32) переменная x 1 исключена из всех уравнений, кроме первого. Если в таблице (3.31) элемент a’ 22 ¹0, то, приняв его за разрешающий элемент и проделав над таблицей (3.31) S-преобразование, получим новую таблицу. И в системе уравнений, соответствующей этой таблице, переменная x 2 будет исключена из всех уравнений, кроме второго.

Если в таблице (3.31) a’ 22 =0, то во втором столбце найдем элемент, не равный нулю, и примем его за разрешающий. Пусть это будет a’ 12 . Тогда выполняя симплекс преобразование над таблицей (3.31), мы исключим x 2 из всех уравнений, кроме i-того. Продолжая так дальше, мы после n преобразований придем к таблице, имеющей, например, следующий вид.

(3.33)

Таблице (3.33) соответствует система уравнений, эквивалентная первоначальной системе. Эта система уравнений имеет вид:

(3.34)

Можно считать, что система (3.34) решена относительно базисных переменных x 1 , x 2 , …, x n . Переносить члены, соответствующие свободным переменным, в правую часть для фактического решения системы (3.34) относительно базисных переменных не будем, так как в дальнейшем нас будет интересовать решение, где все свободные переменные равны 0.

Полагая x n+1 =x n+2 =…=x m =0, получим:

Если окажется, что x 1 ³0, x 2 ³0, …, x m ³0, то совокупность чисел (x 1 , x 2 , …, x n , 0, 0, …, 0) дает неотрицательное решение системы.

Рассмотрим пример. Дана система уравнений

Нужно данную систему разрешить относительно переменных x 1 , x 2 , x 3 . Следовательно свободными переменными будут x 4 , x 5 , x 6 . Напишем таблицу, соответствующую данной системе уравнений.

Решим систему относительно x 1 с помощью первого уравнения. За разрешающий элемент принимаем первый элемент первой строки, и подвергнем таблицу S-преобразованию. Получим новую таблицу, где первая строка переписывается, в первом столбце записываются нули, а остальные элементы вычисляются по D-правилу.

Этой таблице соответствует система уравнений, разрешенная относительно x 1 (x 1 входит только в первое уравнение). Исключить x 2 удобнее с помощью третьего уравнения, так как коэффициент при x 2 в третьем уравнении равен единице. Принимаем его за разрешающий элемент. Пишем новую таблицу

Система уравнений, соответствующая этой таблице, разрешена относительно x 1 и x 2 (x 1 входит только в первое уравнение, а x 2 только в третье).

Для разрешения системы относительно x 3 за разрешающий элемент берем коэффициент при x 3 во втором уравнении. Новая таблица имеет вид

Последняя таблица соответствует системе, решенной относительно базисных переменных x 1 , x 2 , x 3 . Полагая свободные переменные x 4 , x 5 , x 6 равными нулю, получим уравнения:

3x 1 =-18, откуда x 1 =6

3x 2 =-6, откуда x 2 =2

3x 3 =3, откуда x 3 =-1

Совокупность чисел x 1 =6, x 2 =2, x 3 =-1, x 4 =0, x 5 =0, x 6 =0 есть одно из решений данной системы. Оно не принадлежит к области допустимых решений, так как одна из координат x 3 отрицательна.

Для решения задачи линейного программирования важно уметь находить неотрицательные (опорные) решения данной системы уравнений.

Правило выбора разрешающего элемента при отыскании неотрицательного решения системы уравнений.

Пусть дана система уравнений

(3.36)

Если при выполнении симплекс преобразований при переходе от одной системы к другой будем следить за тем, чтобы разрешающие элементы были положительными, то на последнем этапе разрешения системы относительно базисных переменных получим систему вида (3.34) и по формулам (3.35) найдем неотрицательные значения базисных переменных. Составляем отношения свободных членов b k к положительным элементам a kj разрешающего столбца и среди чисел выбираем наименьшее значение. Если наименьшее значение достигается при k=i, то i-номер разрешающей строки, а разрешающим элементом будет a ij .

Рассмотрим пример отыскания неотрицательных решений системы уравнений.

Пример. Найти неотрицательное решение системы уравнений

Пишем таблицу, соответствующую данной системе

Пробуем разрешить эту систему относительно x 1 , т.е. переменную x 1 будем считать базисной переменной. Первый столбец будет базисным столбцом. Составляем отношения свободных членов к положительным элементам первого столбца 10/2=5; 4/7. Наименьшее из этих чисел 4/7. Числа 4 и 7 находятся во второй строке. Следовательно разрешающей строкой будет вторая строка и разрешающим элементом число 7. Выполняя симплекс преобразование, получим новую таблицу

Этой таблице соответствует система уравнений, разрешенная относительно базисной переменной x 1 . Так как обе части любого уравнения системы можно умножать и делить на любое постоянное число (система при этом будет эквивалентна прежней), то если строки таблицы имеют общий множитель, на него можно сократить. Последняя строка предыдущей таблицы имеет общий множитель 7; сокращая на него, получим таблицу

Введем в базис переменную x 3 , т.е. примем за разрешающий столбец третий столбец.

Из двух отношений 62/13 и 10/3 меньшим является второе. Следовательно, разрешающим элементом будет 3. Выполняя симплекс преобразование получим таблицу

Первую строку сокращаем на 28, вторую на 21

Введем в базис переменную x 2 . Разрешающим элементом будет 5. Снова выполняя симплекс преобразования, получим таблицу

Последнюю строку сокращаем на 3

Эта таблица соответствует системе уравнений, разрешенной относительно базисных переменных x 1 , x 2 , x 3 . Свободными переменными здесь являются x 4 и x 5 . Полагая свободные переменные равными нулю, получим:

5x 1 =12, x 1 =12/5; 5x 2 =2, x 2 =2/5; 5x 3 =18, x 3 =18/5;

Совокупность чисел x 1 =12/5; x 2 =2/5; x 3 =18/5; x 4 =0; x 5 =0

Дает неотрицательный ответ данной системы уравнений. Эти числа можно рассматривать как координаты угловой точки (вершины) множества (многогранника) допустимых решений.

ЛИТЕРАТУРА

Малявко К.Ф. «Применение математических методов в военном

Журко М.Д. «Математические методы и основы их применения

в управлении войсками».

Журнал Квант №6 за 1989г.

К середине XX века экономисты-теоретики игнорировали математические подходы и обоснование. Но математические исследования продолжались, и были достигнуты блестящие результаты. В 1975 г.. Лучшие представители математической школы советский ученый Л. Канторович и американский профессор Т.-Ч. Купманс были отмечены Нобелевской премией.

Канторович (1912-1986) родился в Петербурге. В 1930 г.. Окончил Ленинградский университет, а уже через четыре года ему присвоили звание профессора. Работал в Ленинградском институте инженеров промышленного строительства, был заведующим кафедрой Высшего инженерно-технического училища, профессором Ленинградского университета. В 1958 г.. Вместе с В. Немчиновым он создал Лабораторию по применению статистических и математических методов в экономике. В том же году Л. Канторовича был избран членом-корреспондентом, а в 1964 г.. - Действительным членом Академии наук СССР.

Автор трудов "Методы приближенного решения дифференциальных уравнений в частных производных" (совместно с В. Крыловым, 1936), "Функциональный анализ в привел упорядоченных пространствах" (совместно с Б. Вулихе и А. Пинскером, 1949), "Функциональный анализ и прикладная математика "(1948)," Экономический расчет наилучшего использования ресурсов »(1959)," Функциональный анализ в нормированных пространствах »(совместно с Г. Акиловым), выдержавшей несколько изданий в СССР и за рубежом," Динамическая модель оптимального планирования "(1967), "Ценообразование и технический прогресс" (1979) и многие другие.

Почетный член Международного эконометрического общества, почетный доктор Гренобльском, Хельсинкского, Йельского, Парижского, Кембриджского, Пенсильванского университетов, а также университетов в Варшаве, Глазго, Мюнхене, Ницце и имени Мартина Лютера в Галле, Статистического института в Калькутте. Лауреат Нобелевской премии (1975).

Купманс Тьяллинг-Чарльз (1910-1985) родился в Грейвленди (Голландия). С 1927 по 1933 получал образование в Утрехтском университете. С 1934 г.. В Амстердамском университете готовил докторскую диссертацию "Линейный регрессивный анализ экономических временных поясов", которую защитил в 1936 в Лейденском университете. Преподавал экономику и вел научно-исследовательскую деятельность в Нидерландском экономическом институте в Роттердаме. Два года (1938-1940) работал экспертом Лиги Наций по вопросам денежного обращения. В 1940 г.. Он эмигрировал в США, преподавал в Нью-Йоркском, Чикагском, Гарвардском университетах.

Наибольшее признание получили его книги "Статистический вывод о динамических моделей" (1950), "Три очерка о состоянии экономической науки" (1975) и многие другие.

Был членом Эконометрического общества США. В 1950 г.. Избирался президентом Международного эконометрического общества. В течение 1955-1981 гг. Работал профессором экономики Йельского университета. Заслуженный член Американской экономической ассоциации, почетный профессор Йельского института, ему присвоены почетные ученые степени Нидерландской школы экономики, Лувенского католического, Север-но-Западного и Пенсильванского университетов. Лауреат Нобелевской премии (1975).

Основой теории оптимального распределения ресурсов является метод линейного программирования, впервые обоснован Л. Канторовичем новый раздел математики, распространился в экономической практике, способствовал развитию и использованию электронно-вычислительной техники. Сутью метода является максимизации за ограниченных ресурсов. Условия задачи на оптимум и цель, которую надо достичь, можно выразить с помощью системы линейных уравнений. Неизвестные в них только первой степени; ни неизвестно НЕ умножается на другое неизвестное. Такие уравнения выражают зависимости, изображают на графике прямыми линиями. Поскольку уравнений меньше, чем неизвестных, то задача обычно имеет не одно, а множество решений. Найти же нужно одно, по математической терминологией экстремальное, решения. Так, в задачи по оптимизации выпуска фанеры Л. Канторович представил переменную, которую следует максимизировать в виде суммы стоимостей продукции, произведенной всеми станками. Ограничители были сформулированы в виде уравнений, устанавливают соотношение между всеми факторами, расходуются в производстве (древесиной, клеем, электроэнергией, рабочего времени), и количеством произведенной продукции (фанеры) на каждом из станков. Для показателей факторов производства были введены коэффициенты, названные решая множителями, или мультипликаторами. С их помощью решают поставленные задачи. Если известны значения решающих множителей, то искомые величины, в частности оптимальный объем производимой продукции, можно легко вычислить.

Л. Канторович обосновал экономическую суть предложенных им коэффициентов (решающих множителей) как предельных стоимостей ограничивающих факторов - это объективно значимые цены каждого из факторов производства применительно к условиям конкурентного рынка. Для решения задачи на оптимум ученый использовал метод последовательных приближений, последовательного сопоставления вариантов с выбором лучшего в соответствии с условиями задачи.

Впервые основы теории оптимального распределения ресурсов был опубликован в 1939 году. В работе "Математические методы организации и планирования производства". В ней Канторович предложил принципиально новый класс экстремальных задач с ограничениями, разработав эффективный метод их решения. Ученый сформулировал задачу составления плана и системы цен как взаимосвязанных компонентов неделимой двоедности, что было большим достижением, ведь одновременно минимизация затрат и максимизация результатов невозможно. В то же время оба этих подхода взаимосвязаны: если, например, найдена оптимальная схема перевозок, то ей соответствует определенная система цен; если определенные оптимальные значения цен, то можно получить схему перевозок, отвечает требованиям оптимальности.

Термин "развязывающие множители" в дальнейшем был интерпретирован Л. Канторовичем и сформулирован как объективно обусловленные оценки. Они не произвольные, их величины должны объективно обусловлен характер, задаются конкретными условиями задачи. Значение объективно обусловленных оценок подходят только для одной задачи. Ученый предлагал рассчитывать их при разработке планов; на эти показатели призваны опираться предприятия при расчете затрат и объемов производства соответствующей продукции. Объективно обусловленные оценки корректируются в зависимости от соотношения спроса и объемов производства. Внедрены в практику планирования и управления расчеты должны оп-тимизуваты использования ресурсов.

Задачи линейного программирования были известны еще с конца XVIII в. Однако их начали розвьязувати.лише после выхода в свет работ Л. Канторовича, который стал первооткрывателем линейного программирования. В США исследования по линейного программирования начались в конце 40-х годов XX века * Транспортная задача Хичкока и симплекс-метод Данцига (близкие к методу решения задач линейного программирования Канторовича) были разработаны на десятилетия позже.

В 50-е годы Л. Канторович, обобщив свои исследования, расширил сферу анализа и опубликовал книгу "Экономический расчет наилучшего использования ресурсов» (1959), первый вариант которой был подготовлен еще в 1942. В ней и в последующих статьях он применил свой метод линейного программирования для исследования широкого круга проблем планирования, в частности на национальном уровне.

Научный вклад Л. Канторовича - это знаменитые научные школы в области функционального анализа, вычислительной математики, математической экономики и оптимального планирования народного хозяйства. Открытое им математическое программирование широко используется для решения равных задач в экономике, физике, энергетике, геологии, биологии, механике и теории управления. Он был одним из основоположников современного экономико-математических-ного направления в экономической науке.

Метод линейного программирования впервые позволил точно сформулировать важное современное экономико-математическое понятие "оптимальность". Л. Канторович и его коллеги разработали систему оптимального функционирования экономики (СОФЭ) сформировали модели эффективного распределения и оценки ресурсов. С позиций теории двойственности Л. Канторович еще в 50-е годы рекомендовал рассчитывать для планового периода оптимальную оценку капиталовложений.

Он дал ей экономическое объяснение и показал ее значение в хозяйственном управлении. Это был научно обоснованный подход к вычислению числового значения единого народнохозяйственного экономического норматива эффективности использования капитальных вложений, который намного опередил свое время.

Несколько позже, но независимо от Л. Канторовича, предложил подобную методологию Т.-Ч. Купманс. В 1944-1945 гг. Он разработал план торгово-го мореплавания, что минимизировал возможность опасного торпедирования пустых грузовых судов фашистскими подводными лодками. Целью он выбрал минимизацию порожнего пробега судов и решил задачу методом проб и ошибок. Купманс доказал, что экономическая задача совпадает с математической задачей минимизации линейной функции. Эту аналитическую методику ученый впервые описал в 1942 году. Под названием "Соотношение между грузопотоками на разных маршрутах". Он показал, что названную проблему нужно рассматривать как линейную функцию максимизации в рамках многих ограничений. Ограничения были представлены математическими уравнениями, выражающими отношение количества расходных факторов производства (амортизации судов, времени, трудовых затрат) с количеством доставленных в различные пункты назначения грузов. При этом величина любых расходов не должна превышать сумму стоимости доставленных в каждый порт грузов. Ученый заметил суть принципа линейного программирования, которая заключалась в том, что в оптимальном случае и при идеальных оценок всех ресурсов затраты и результаты будут равными. Итак, Т.-Ч. Купманс использовал математический инструментарий и создал метод определения оптимального распределения ресурсов между конкурирующими потребителями, по которому можно было, например, рассчитать затраты на доставку миллионов тонн грузов, которые перевозят тысячи судов морскими путями в сотни портов. Метод Купманса, названный "анализом деятельности фирмы", вошел в общую методологию линейного программирования. В дальнейшем ученый разрабатывал и популяризировал методы линейного программирования. Благодаря его усилиям 20-24 июня 1949 в Чикаго была организована первая специальная конференция с линейного программирования.

У1950 г.. Т.-Ч. Купманс с другими исследователями окончательно разработали так называемый метод "анализа деятельности фирмы". Модели этого типа такие же, как и межотраслевые, линейные, однако в них каждый вид производственной деятельности может быть связано с выпуском нескольких товаров, и существует возможность выбора между различными технологиями производства каждого вида продукции. Производственная модель типа анализа деятельности фирмы, как правило, содержит гораздо больше степеней свободы, чем обычная модель межотраслевого баланса, благодаря чему открываются природные возможности для оптимизации. Именно поэтому анализ деятельности фирмы развивался в тесной связи с линейным программированием.

Теория оптимального распределения ресурсов, учредителями которой являются Л. Канторович и Т.-Ч. Купманс, определяет модель производственного процесса, с помощью метода линейного программирования обеспечивает выбор из нескольких возможных такого варианта, который максимизирует выпуск продукции не только на уровне предприятия, но и на макроэкономическом уровне.

15 октября 2007 г. Шведская Королевская академия наук объявила о присуждении Нобелевской премии по экономике 2007 г. трем экономистам США – Леониду Гурвицу, Эрику Маскину и Роджеру Майерсону за «создание основ теории оптимальных механизмов распределения ресурсов».

Исследователи сделали попытку решить вопрос оптимального распределения ресурсов в условиях неполной информированности участников рынка друг о друге.

Теорию оптимальных механизмов распределения ресурсов создал Гурвиц, а Маскин и Майерсон развили и дополнили ее в условиях информационной асимметрии Дж. Акерлофа, М. Спенса и Дж. Стиглица.

Теория информационной асимметрии гласит, что в условиях, когда участники сделки не обладают одинаковым объемом информации об объекте сделки, участник, располагающей большей информацией, добивается цены выше ее оптимального уровня.

Создание и развитие теории оптимального распределения ресурсов помогает объяснить ситуации, происходящие на рынке, различать, какие тенденции (положительные или отрицательные) преобладают в данное время.

По мнению членов Нобелевского комитета, разработка теории оптимальных механизмов распределения ресурсов позволила определить эффективные торговые механизмы, схемы регулирования и процедуры голосования, а также значительно расширила знания об особенностях оптимального распределения ресурсов.

ГУРВИЦ Леонид (Леон) – почетный профессор экономики Миннесотского университета США. Родился в 1917 г. в Москве (Россия) в семье беженцев из Польши. Позднее его родители переехали в США, где Гурвиц живет по настоящее время. Гурвиц – самый пожилой (ему 90 лет) Нобелевский лауреат за все годы во всех номинациях. Он одним из первых оценил возможность, которую раскрывает перед экономической наукой теория игр.

Созданная им теория оптимального распределения имеет непосредственное отношение к оптимальному распределению ресурсов, являющемуся ключевым аспектом экономической науки. Использующийся до этого анализ оптимального распределения ресурсов при помощи использования теории рынков был эффективным только в идеальных условиях, которых нет в реальной практике. Теория оптимальных механизмов распределения ограниченных ресурсов выдвигает проблему поиска самого эффективного механизма в сложившейся реальной жизни.

Гурвиц установил, что для распределения благ наиболее эффективным механизмом во многих случаях выступает двойной аукцион, при котором цены устанавливаются не только продавцами, но и покупателями. Разработанная Гурвицем и другими лауреатами Нобелевской премии по экономике 2007 г. теория объясняет, почему рыночные механизмы плохо работают с общественными благами вроде водных ресурсов, дорог. Для их экономически эффективного распределения может потребоваться другой метод, например введение налогов на пользование.

Теорию оптимальных механизмов распределения ресурсов Гурвиц создал в 1960 г. Механизм он понимал как игру, в которой участники обмениваются информацией друг с другом или с «центром сообщений», а заранее заданные правила определяют распределение ресурсов для каждого набора сообщений. Гурвиц исследовал получающиеся в ходе игры равновесные состояния. Он отбирал те решения, которые были оптимальными для всех участников игры. Разработанные им схемы работают даже тогда, когда участники игры не знают, сколько за нужные им ресурсы дают соседи. Система, организующая аукцион, пытается как можно полнее удовлетворить запросы каждого участника. При этом участники игры свои оценки благ направляют в систему тайно . В результате чего получающееся распределение оказывается максимально близким к справедливому.

В 1972 г. Гурвиц упростил анализ, ввел так называемый «принцип откровения», сужающий и ограничивающий поле исследования.

Игры Гурвица помогают участникам аукциона купить или продать то или иное благо как можно выгоднее для себя.

Важно отметить, что теория оптимальных механизмов учитывает такие ситуации, в которых деньги не главное. Так, оптимальные механизмы могут быть полезны в случае, когда приоритетом для правительства при осуществлении сделок или аукционов является общественное благо.

Однако Гурвиц особое значение придает другой сфере использования своей теории. В телефонном интервью Нобелевскому комитету он назвал ее «социальным обеспечением».

МАСКИН Эрик (р. 1950 г.) – профессор Принстонского университета; совместно с Майерсоном, профессором Чикагского университета, в 1972 г. «принцип откровения» Гурвица свел к уже известному экономической науке равновесию по Нэшу (Дж. Нэш – американский экономист, лауреат Нобелевской премии по экономике 1994 г.), являющемуся инструментом анализа почти по всем разделам экономической науки, когда необходим комплексный анализ взаимодействия экономических субъектов.

Маскин вывел важнейшие условия эффективности в работе об организации приватизационных аукционов. По Маскину, наиболее эффективным является тот аукцион, в котором платят все участники, а объект получает заплативший больше других. Теорию оптимальных механизмов распределения Маскин использует при анализе голосований.

МАЙЕРСОН Роджер (р. 1951 г.) – профессор Чикагского университета. Он обратил внимание на поиск оптимальных механизмов распределения между государством и монополиями.

Майерсон в сотрудничестве с другими учеными предположил, что надзорные органы не обладают полной и достоверной информацией о реальной себестоимости продукции монополистов. Но, по мнению Майерсона, у антимонопольщиков всегда имеется выбор между обложением монополистов рентой и стимулированием эффективного уровня производства.

Статья Майерсона об оптимальных аукционах, опубликованная в 1981 г., выглядела абстрактной. Однако если взглянуть на аукционы через призму теории стимулов, созданной Гурвицем, она представляется полезной.

Исследование Гурвица, Маскина и Майерсона имеет определенные параллели с исследованием теории рынков в условиях асимметричной информации Акерлофа, Спенса и Стиглица, за которое им была присуждена Нобелевская премия в 2001 г.

Высказывается мнение, что если бы теорию Гурвица знали и применяли авторы и организаторы приватизации государственной и общественной (коллективной) собственности в России, то ее экономика могла бы развиваться успешнее.