6.1. Ряды динамики. Классификация динамических рядов

Ряд динамики, хронологический ряд, динамический ряд, временной ряд – это последовательность упорядоченных во времени числовых показателей, характеризующих уровень развития изучаемого явления. Всякий ряд динамики включает, следовательно, два обязательных элемента: во-первых, время и, во-вторых, конкретное значение показателя, или уровень ряда. Ряды динамики различаются по следующим признакам.

1. По времени – моментные и интервальные ряды. Интервальный ряд динамики – последовательность, в которой уровень явления относится к результату, накопленному или вновь произведенному за определенный интервал времени. Таковы, например, ряды показателей объема продукции по месяцам года, количества отработанных человеко-дней по отдельным периодам и т.д. Если же уровень ряда показывает фактическое наличие изучаемого явления в конкретный момент времени, то совокупность уровней образует моментный ряд динамики. Примерами моментных рядов могут быть последовательности показателей численности населения на начало года, величины запаса какого-либо материала на начало периода и т.д. Важное аналитическое отличие моментных рядов от интервальных состоит в том, что сумма уровней интервального ряда дает вполне реальный показатель – общий выпуск продукции за год, общие затраты рабочего времени, общий объем продаж акций и т.д., сумма же уровней моментного ряда, хотя иногда и подсчитывается, но реального содержания, как правило, не имеет.

2. По форме представления уровней – ряды абсолютных, относительных и средних величин (табл. 6.1 – 6.3).

3. По расстоянию между датами или интервалам времени выделяют полные и неполные хронологические ряды.

Полные ряды динамики имеют место, когда даты регистрации или окончания периодов следуют друг за другом с равными интервалами. Это равноотстоящие ряды динамики (см. табл. 6.1 и 6.2). Неполные – когда принцип равных интервалов не соблюдается (см. табл. 6.3).

Таблица 6.1

Объем продаж долларов США на ММВБ, млн. долл.

Таблица 6.3

Потребление основных продуктов питания на одного члена семьи, кг/год

Чтобы о развитии явления можно было получить представление при помощи числовых уровней, при составлении ряда динамики должны приводиться в сопоставительный вид.

Статистические данные должны быть сопоставимы по территории, кругу охватываемых объектов, единицам измерения, времени регистрации, ценам, методологии расчета. Сопоставимость по территории означает, что данные по странам и регионам, границы которых изменились, должны быть пересчитаны в старых пределах. Сопоставимость по кругу охватываемых объектов означает сравнение совокупностей с равным числом элементов. Территориальная и объемная сопоставимость обеспечивается смыканием рядов динамики, при этом либо абсолютные уровни заменяются относительными, либо делается пересчет в условные абсолютные уровни. Не возникает особых сложностей при обеспечении сопоставимости данных по единицам измерения; стоимостная сравнимость достигается системой сопоставимых цен.

Числовые уровни рядов динамики должны быть упорядоченными во времени. Не допускается анализ рядов с пропусками отдельных уровней, если же такие пропуски неизбежны, то их восполняют условными расчетными значениями.

6.2. Показатели анализа рядов динамики

При изучении явления во времени перед исследователем встает проблема описания интенсивности изменения и расчета средних показателей динамики. Решается она путем построения соответствующих показателей. Для характеристики интенсивности изменения во времени такими показателями будут:
1) абсолютный прирост,
2) темпы роста,
3) темпы прироста,
4) абсолютное значение одного процента прироста.

Расчет показателей динамики представлен в следующей таблице.

Показатель	Базисный	Цепной
Абсолютный прирост *	Y i -Y 0	Y i -Y i-1
Коэффициент роста (К р)	Y i: Y 0	Y i: Y i-1
Темп роста (Т р)	(Y i: Y 0)×100	(Y i: Y i-1)×100
Коэффициент прироста (К пр) **
Темп прироста (Т пр)
Абсолютное значение одного процента прироста (А)

*
**

В случае, когда сравнение проводится с периодом (моментом) времени, начальным в ряду динамики, получают базисные показатели. Если же сравнение производится с предыдущим периодом или моментом времени, то говорят о цепных показателях.

Рассмотрим пример. Имеются данные об объемах и динамике продаж акций на 15 крупнейших биржах России за пять месяцев 1993 г.

Показатель	Март	Апрель	Май	Июнь	Июль	Август
Объем продаж, млн. руб. Абсолютный прирост: цепной, базисный Коэффицент (индекс) роста цепной Темп роста, %: цепной, базисный Темп прироста цепной, % базисный, % Абсолютное значение 1% прироста (цепной)	709,98 - - - - - -	1602,61 892,63 892,63 2,257 225,7 225,7 125,7 125,7 7,10	651,83 950,78 -58,15 0,407 40,7 91,8 59,3 -8,2 16,03	220,80 431,03 -489,18 0,339 33,9 31,1 66,1 -68,9 6,52	327,68 106,88 -382,3 1,484 148,4 46,2 48,4 -53,8 2,21	277,12 50,56 -432,86 0,846 84,6 39,0 15,4 61,0 3,28

Система средних показателей динамики включает:
средний уровень ряда,
средний абсолютный прирост,
средний темп роста,
средний темп прироста.

Средний уровень ряда – это показатель, обобщающий итоги развития явления за единичный интервал или момент из имеющейся временной последовательности. Расчет среднего уровня ряда динамики определяется видом этого ряда и величиной интервала, соответствующего каждому уровню.

Для интервальных рядов с равными периодами времени средний уровень Y рассчитывается следующим образом:

где n или (n +1) – общая длина временного ряда или общее число равных временных отрезков, каждому из которых соответствует свой уровень Y i (1 = 1, 2, ..., n или 1 = 0, 1, 2, ..., n).

Средний абсолютный прирост рассчитывается по формулам в зависимости от способа нумерации интервалов (моментов).

.

Средний темп роста:

где – средний коэффициент роста, рассчитанный как . Здесь К цеп – цепные коэффициенты роста;

Средний темп прироста (%) определяется по единственной методологии:

6.3. Изучение тенденции развития

Всякий ряд динамики теоретически может быть представлен в виде составляющих:
1) тренд – основная тенденция развития динамического ряда (к увеличению либо снижению его уровней);
2) циклические (периодические) колебания, в том числе сезонные;
3) случайные колебания.

Изучение тренда включает два основных этапа:
1) ряд динамики проверяется на наличие тренда;
2) производится выравнивание временного ряда и непосредственное выделение тренда с экстраполяцией полученных результатов.

Непосредственное выделение тренда может быть произведено тремя методами.

1. Укрупнение интервалов. Ряд динамики разделяют на некоторое достаточно большое число равных интервалов. Если средние уровни по интервалам не позволяют увидеть тенденцию развития явления, переходят к расчету уровней за большие промежутки времени, увеличивая длину каждого интервала (одновременно уменьшается количество интервалов).

2. Скользящая средняя. В этом методе исходные уровни ряда заменяются средними величинами, которые получают из данного уровня и нескольких симметрично его окружающих. Целое число уровней, по которым рассчитывается среднее значение, называют интервалом сглаживания. Интервал может быть нечетным (3, 5, 7 и т.д. точек) или четным (2, 4, 6 и т.д. точек).

При нечетном сглаживании полученное среднее арифметическое значение закрепляют за серединой расчетного интервала, при четном этого делать нельзя. Поэтому при обработке ряда четными интервалами их искусственно делают нечетными, для чего образуют ближайший больший нечетный интервал, но из крайних его уровней берут только 50 %.

Недостаток методики сглаживания скользящими средними состоит в условности определения сглаженных уровней для точек в начале и конце ряда. Получают их специальными приемами – расчетом средней арифметической взвешенной.

3. Аналитическое выравнивание. Под этим понимают определение основной проявляющейся во времени тенденции развития изучаемого явления. Развитие предстает перед исследователем как бы в зависимости только от течения времени. В итоге выравнивания временного ряда получают наиболее общий, суммарный, проявляющийся во времени результат действия всех причинных факторов. Отклонение конкретных уровней ряда от уровней, соответствующих общей тенденции, объясняют действием факторов, проявляющихся случайно или циклически. В результате приходят к трендовой модели

где f(t) – уровень, определяемый тенденцией развития;

e t – случайное и циклическое отклонение от тенденции.

Целью аналитического выравнивания динамического ряда является определение аналитической или графической зависимости f(t). На практике по имеющемуся временному ряду задают вид и находят параметры функции f(t), а затем анализируют поведение отклонений от тенденции. Функцию f(t) выбирают таким образом, чтобы она давала содержательное объяснение изучаемого процесса.

Чаще всего при выравнивании используются следующие зависимости:

Линейная зависимость выбирается в тех случаях, когда в исходном временном ряду наблюдаются более или менее постоянные абсолютные цепные приросты, не проявляющие тенденции ни к увеличению, ни к снижению.

Параболическая зависимость используется, если абсолютные цепные приросты сами по себе обнаруживают некоторую тенденцию развития, но абсолютные цепные приросты абсолютных цепных приростов (разности второго порядка) никакой тенденции развития не проявляют.

Экспоненциальные зависимости применяются, если в исходном временном ряду наблюдается либо более или менее постоянный относительный рост (устойчивость цепных темпов роста, темпов прироста, коэффициентов роста), либо, при отсутствии такого постоянства, – устойчивость в изменении показателей относительного роста (цепных темпов роста цепных же темпов роста, цепных коэффициентов роста цепных же коэффициентов или темпов роста и т.п.).

Оценка параметров (a 0 , a 1 , a 2 , ...) осуществляется следующими методами:
1) методом избранных точек,
2) методом наименьших расстояний,
3) методом наименьших квадратов (МНК).

В большинстве расчетов используют метод наименьших квадратов, который обеспечивает наименьшую сумму квадратов отклонений фактических уровней от выравненных:

Для линейной зависимости (f(t)=a 0 +a 1 t) параметр а 0 обычно интерпретации не имеет, но иногда его рассматривают как обобщенный начальный уровень ряда; а 1 – сила связи, т.е. параметр, показывающий, насколько изменится результат при изменении времени на единицу. Таким образом, а можно представить как постоянный теоретический абсолютный прирост. Построив уравнение регрессии, проводят оценку его надежности. Это делается посредством критерия Фишера (F). Фактический уровень (F факт) сравнивается с теоретическим (табличным) значением:

где k – число параметров функции, описывающей тенденцию;
n – число уровней ряда;

F факт сравнивается с F теор при v 1 = (k-1), v 2 = (n-k) степенях свободы и уровне значимости a (обычно a = 0,05). Если F факт > F теор, уравнение регрессии значимо, т.е. построенная модель адекватна фактической временной тенденции.

Выравнивание проведено по линейной трендовой модели. Оценка параметров уравнения выполнена методом наименьших квадратов.

Таким образом, f(t) = у t = 10,128-0,073t для t= -13, -11, -9, ..., +13, или f(t) = у t = 11,077-0,1461 для t = 0, 1, ..., 13.

Параметры последнего уравнения регрессии можно интерпретировать следующим образом: a 0 = 11,077 – это исходный уровень брачности по России за период до 1977 г.; а 1 = -0,146 – показатель силы связи, т.е. в России за период с 1977 по 1990 г. происходило снижение уровня брачности на 0,146 ‰ ежегодно.

В качестве примера рассмотрим число зарегистрированных браков на 1000 жителей России за период с 1977 по 1990 г.:

Год	Число зарегистри- рованных браков, %	t	у×t	t 2	f(t)
1977	11,2	-13	-145,6	169	11,077
1978	10,9	-11	-119,9	121	10,931
1979	10,7	-9	-96,3	81	10,785
1980	10,6	-7	-74,2	49	10,639
1981	10,6	-5	-53,2	25	10,493
1982	10,4	-3	-31,2	9	10,347
1983	10,4	-1	-10,4	1	10,202
1984	9,6	1	9,6	1	10,056
1985	9,7	3	29,1	9	9,910

Средний уровень ряда определяет обобщенную величину абсолютных уровней. Он определяется по средней, исчисленной из значений, меняющихся во времени. Методы расчета среднего уровня интервального и моментного рядов динамики разные.

Средний уровень из абсолютных уровней для интервальных рядов динамики рассчитывается по формуле :

1. При равных интервалах используют среднюю арифметическую простую:

Где у - абсолютные уровни ряда;

n - число уровней ряда.

2. При неравных интервалах используют среднюю арифметическую взвешенную:

где у1,…,уn - уровни ряда динамики;

t1,… tn - веса, длительность интервалов времени.

Средний уровень моментного ряда динамики рассчитывается по формуле:

1. С равностоящими уровнями рассчитывается по формуле средней хронологической моментного ряда:

Где у1,…,уn - уровни периода, за который делается расчет;
n - число уровней;
n-1 - длительность периода времени.

2. С неравностоящими уровнями рассчитывается по формуле средней хронологической взвешенной:

Где у1,…,уn - уровни рядов динамики;
t - интервал времени между смежными уровнями

Средний абсолютный прирост в задачах статистики

Определяется как среднее из абсолютных приростов за равные промежутки времени одного периода. Он рассчитывается по формулам:

1. По цепным данным об абсолютных приростах за ряд лет рассчитывают средний абсолютный прирост как среднюю арифметическую простую:

где n - число степенных абсолютных приростов в исследуемом периоде.

2. Средний абсолютный прирост рассчитывают через базисный абсолютный прирост в случае равных интервалов

где m - число уровней ряда динамики в исследуемом периоде, включая базисный.

Есть свободная обобщающая характеристика интенсивности изменения уровней и показывает, во сколько раз в среднем за единицу времени изменяется уровень ряда динамики.

В качестве основы и критерия правильности вычисления среднего темпа роста (снижения) применяется обобщающий показатель, который рассчитывается как произведение цепных темпов роста, равное темпу роста за весь рассматриваемый период. Если значение признака образуется как произведение отдельных вариантов, то используют среднюю геометрическую.

Так как средний темп роста представляет собой средний коэффициент роста, выражен в процентах, то для равностоящих рядов динамики расчеты по средней геометрической сводятся к вычислению средних коэффициентов роста из цепных по «цепному способу»:

Где n - число цепных коэффициентов роста;
Кц - цепные коэффициенты роста;
Кб - базисный коэффициент роста за весь период.

Определение среднего коэффициента роста может быть упрощено, если будут ясны уровни динамического ряда. Так как произведение цепных коэффициентов роста равно базисному, то в подкоренное выражение подставляют базисный коэффициент роста.

Формула для определения среднего коэффициента роста для равностоящих рядов динамики по «базисному способу» будет такая:

Средние темпы прироста рассчитываются на основе средних темпов роста (Тр) вычитанием из последних 100%:

Для того чтобы определить средний коэффициент прироста (Кпр), нужно из значений коэффициентов роста (Кр) вычесть единицу.

Хронологический ряд (ряд динамики, динамический ряд) - это ряд статистических показателей, последовательное изменение которых отражает развитие общественных явлений во времени. Ряд динамики содержит два элемента: показателя времени, к которому относятся статистически показатели; уровень ряда у.

По времени, отражаемому в рядах динамики, различают моментные и интервальные хронологические ряды.

В моментном ряду динамики статистические показатели характеризуют состояние явления на определенный момент времени. Для моментного ряда динамики характерно то, что каждый последующий, поэтому сумма показателей такого ряда не имеет экономического смысла.

Интервальный ряд динамики состоит из показателей, характеризующих размеры явления за определенный промежуток времени. Показатели такого, ряда можно суммировать, в результате получить новый ряд динамики, каждый показатель которого характеризует размер явления за более длительный период времени.

По способу выражения рядов динамики могут быть рядами абсолютных, относительных и средних величин.

Для характеристики интенсивности изменения общественных явлений во времени рассчитывают следующие показатели: абсолютные приросты, темпы роста, темпы прироста, абсолютное значение 1 % прироста, коэффициент опережения.

В зависимости от базы сравнения они могут быть базисными (за базу сравнения берется один, постоянный уровень) и цепными (за базу сравнения берется предыдущий уровень).

Абсолютным приростом у называется разность уровней ряда, которая выражается в единицах измерения показателей ряда динамики:

у базисный = уi - yo ;

y цепной = yi - yi-1 ,

где уi - уровни ряда динамики;

уо - базисный уровень;

уш-1 - предыдущий уровень.

Темпы роста Тр - отношение одного уровня к другому, принятому за базу сравнения, выражаются в коэффициентных или процентах:

Тр базисный = ;

Тр цепной = .

Темп прироста Тпр - отношение абсолютного прироста к уровню, принятому за базу сравнения, выражается в коэффициентах или процентах:

Т пр базисный = ;

Т пр цепной =

Абсолютное значение 1 % прироста А показывает, какая абсолютная величина содержится в 1 %, и определяется как отношение цепного абсолютного прироста к цепному темпу прироста, выраженному в процентах:

Т.е. абсолютное значение 1 % прироста можно также определить как 0,01 предыдущего уровня.

Для обобщающей характеристики динамики общественных явлений определяют средний уровень ряда динамики, средний абсолютный прирост, средний темп роста и средний темп прироста.

Средний уровень ряда динамики называется средней хронологической, которая дает обобщающую характеристику развития явлений во времени.

В интервальном ряду динамики средний уровень у определяется по формуле:

где n - число уровней ряда;

у - уровни.

В моментном ряду динамики:

1) с равными промежутками между моментами времени средний уровень определяется по формуле:

где n - число уровней;

2) с неравными промежутками между моментами времени средний уровень определяется по формуле:

где ti - величина интервалов между моментами времени.

Средний абсолютный прирост определяется по отдельным значениям цепных абсолютных приростов:

Средний темп роста определяется по формуле средней геометрической:

где Тi - темпы роста;

m - число темпов роста.

Если известны уровни ряда динамики, то средний темп роста можно определить как

где уо, уn - уровень первого и последнего периода (момента) времени в ряду динамики.

Средний темп прироста определяют на основании среднего темпа роста:

Тпр = Тр - 1 (100 %).

Одной из задач, решаемых при анализе динамики, является установление закономерности (тенденции) развития явления во времени.

Для этого используются методы укрупнения интервалов, скользящей средней и аналитического выравнивания.

Метод укрупнения интервалов состоит в том, что первоначальный ряд динамики преобразуется и заменяется другим, в котором показатели относятся к большим по продолжительности периодам времени. Этот метод используется только для интервальных рядов динамики.

Метод скользящей средней заключается в том, что формируются укрупненные интервалы, состоящие из одинакового числа уровней. При этом каждый последующий интервал получаем, постепенно сдвигаясь от начального интервала ряда динамики на один интервал; по укрупненным интервалам определяются средние из уровней, входящих в каждый интервал.При использовании метода аналитического выравнивания для выявления тенденции развития явления во времени фактические уровни заменяются теоретическими, исчисленными на основе уравнения кривой или прямой, отражающей общую тенденцию.

Если ряд выравнивается по уравнению прямой, то общая тенденция выразится уравнением:

где а и b - параметры уравнения;

yt - теоретические уровни ряда динамики;

t - периоды или моменты времени.

Для исчисления yt при известных t, необходимо первоначально определить параметры уравнения. Для этого используется способ наименьших квадратов, который дает систему линейных уравнений:

где у - фактические уровни ряда динамики;

n - число этих уровней.

Эту систему уравнений можно упростить, если пронумеровать периоды времени t таким образом, чтобы их сумма балы равна 0 (t = 0). Для этого в ряду динамики с четным числом уровней нумерацию необходимо начинать с середины ряда с чисел -1, +1; в ряду динамики с нечетным числом уровней нумерацию необходимо начинать с середины ряда с 0, тогда

Все процессы и явления, протекающие в общественной жизни человека, являются предметом изучения статистической науки они находятся в постоянном движении и изменении.

Динамическими рядами в статистической науке называют статистические данные, характеризующие изменения явлений во времени, они строятся для выявления и изучения возникающих закономерностей в развитии явлений в различных сферах (например, экономической, политической и культурной) жизни общества.

В рядах динамики имеются два главных элемента:

1) показатель времени (г);

2) уровни развития изучаемого явления (у). В рядах динамики в качестве показателей времени могут выступать определенные даты времени или отдельные периоды.

Уровни, образующие ряды динамики, определяют количественную оценку развития во времени исследуемого явления или процесса, они могут выражаться относительными, абсолютными либо средними величинами. Уровни рядов динамики в зависимости от характера исследуемого явления могут относиться к определенным датам времени или к отдельным периодам.

Динамический ряд состоит из сопоставимых статистических показателей. Для правильности построения динамических рядов необходимо, чтобы состав исследуемой статистической совокупности относился к одной и той же территории, к одному и тому же кругу объектов и был рассчитан по одной и той же методологии.

Данные динамического ряда должны выражаться в одних и тех же единицах измерения, а промежутки времени между значениями ряда должны быть по возможности одинаковыми.

2. Виды рядов динамики

Ряды динамики подразделяются на моментные, интервальные и ряды средних величин.

Моментные ряды динамики отображают состояние исследуемых процессов на определенные даты времени.

Интервальные ряды динамики отображают итоги развития или функционирования исследуемых процессов за отдельные периоды времени.

Вычисление среднего динамического ряда. Для характеристики процесса за определенный период рассчитывают средний уровень из всех членов динамического ряда.

Способы его расчета зависят от вида динамического ряда. Для интервальных рядов средняя рассчитывается по формуле средней арифметической, причем при равных интервалах применяется средняя арифметическая простая, а при неравных – средняя арифметическая взвешенная.

Для нахождения средних значений моментного ряда применяют среднюю хронологическую:

Средняя хронологическая моментного ряда равна сумме всех уровней ряда, поделенной на число членов ряда без одного, причем первый и последний члены ряда берутся в половинном размере.

Если интервалы между периодами не равны, то применяется средняя арифметическая взвешенная, а в качестве весов берутся отрезки времени между датами, к которым относятся парные средние смежных значений уровня.

3. Основные показатели анализа динамических рядов

Для анализа динамических рядов в статистике используются такие показатели, как уровень ряда, средний уровень, абсолютный прирост, темп роста, коэффициент роста, темп прироста, коэффициент опережения, абсолютное значение одного процента прироста.

Уровнем ряда является абсолютная величина каждого члена динамического ряда. Все уровни ряда характеризуют его динамику. Различают начальный, конечный и средний уровни ряда. Начальный уровень – величина первого члена ряда. Конечный уровень – величина последнего члена ряда, средний уровень – средняя из всех значений динамического ряда.

Абсолютный прирост – это один из самых важных статистических показателей, он характеризует размер увеличения или уменьшения изучаемого явления за определенный период времени определяется как разность между данным уровнем и предыдущим или первоначальным. Уровень, который сравнивается, называется текущим, а уровень, с которым делается сопоставление, именуется базисным, так как он является базой для сравнения. Если каждый уровень ряда сравнивается с предыдущим, то получают цепные показатели, а если все уровни ряда сравниваются с одним и тем же первоначальным уровнем, то полученные показатели называются базисными.

Для динамического ряда у 0 , у 1 , у 2 ,…, y n -1 , y n , состоящего из n + 1 уровней, абсолютный прирост определяется по формулам:

1) цепной: ?I = у i – у i -1 ;

2) базисный ? = у i – у 0 ,

где y i – текущий уровень ряда;

y i у i ;

y 0 – начальный уровень ряда.

Формула среднего абсолютного прироста:

где ?y – средний абсолютный прирост;

y n – конечный уровень ряда;

y 0 – начальный уровень ряда.

Вычисляют показатели темпа роста и темпа прироста. Темп роста является самым распространенным статистическим показателем, который характеризует отношение данного уровня статистического процесса к предыдущему или начальному, выраженное в процентах. Темпы роста, вычисленные как отношение данного уровня к предыдущему, называются цепными а к начальному – базисными.

Темпы роста вычисляются по формулам:

1) цепной:

2) базисный:

где y i – текущий уровень ряда;

y i -1 – уровень, предшествующий у i ;

у 0 – начальный уровень ряда.

Если у темпов роста база сравнения принимается за 1, то полученные статистические показатели называются коэффициентами роста.

Темпом прироста называется отношение абсолютного прироста к предыдущему или начальному уровню, выраженное в процентах. Темп прироста можно рассчитать по данным о темпе роста. Для этого надо от темпа роста отнять 100 или от коэффициента роста – 1, в последнем случае получим коэффициент прироста Кпр.

Темпы прироста рассчитываются по следующим формулам:

1) цепной: Тпр. = (у – y i -1); y i -1 = Тр.ц. – 100 или (Кр.ц. – 1) х 100;

2) базисный: Тпр. = (у i – у 0); у 0 = Тр.б. – 100 или (Кр.б. – 1) х 100.

Для характеристики темпов роста и прироста в среднем за весь период рассчитывают средний темп роста и прироста. Средний темп (коэффициент) роста определяется по формуле средней геометрической, когда средний темп роста вычисляется по абсолютным данным первого и последнего членов динамического ряда, применяется следующая формула средней геометрической:

где у 1 – начальный уровень;

y n – конечный уровень;

n – число членов ряда.

Если имеются цепные коэффициенты роста, то средний коэффициент роста определяется по формуле:

где К 1 , К 2 , К 3 … K n – коэффициенты роста за любой период.

Коэффициент опережения – это отношение базисных темпов роста двух динамических рядов за одинаковые отрезки времени Обозначив коэффициент опережения K оп, базисные коэффициенты роста первого ряда динамики – через К 1 , второго – К 11 , Тогда:

К оп = К 1 / К 11 .

Данный коэффициент показывает, во сколько раз будет быстрее расти уровень одного ряда динамики по сравнению с другим Отношение абсолютного прироста к темпу прироста представляет собой абсолютное значение одного процента по формуле:

А% = ? (абсолютный прирост) / Тпр.

Интерполяция и экстраполяция

Для решения неизвестных промежуточных значений динамического ряда применяется способ интерполяции.

Интерполяция – способ определения неизвестных промежуточных значений динамического ряда.

Интерполяция заключается по существу в приближенном отражении сложившейся закономерности внутри определенного отрезка времени – в отличие от экстраполяции, которая требует выхода за пределы этого отрезка времени.

Экстраполяция – метод определения количественных характеристик для совокупностей и явлений, не подвергшихся наблюдению, путем распространения на них результатов, полученных из наблюдения над аналогичными совокупностями за прошедшее время, на будущее и т. д.

Средний уровень ряда динамики характеризует типичную величину абсолютных уровней.

Средний уровень y в интервальных рядах динамики вычисляется с помощью деления суммы уровней y ; на их число n.

В моментном ряду динамики с равностоящими датами времени уровень будет определяться следующим образом:

В моментном ряду динамики с неравностоящими датами средний уровень определяется:

Характеристика обобщающих индивидуальных абсолютных приростов ряда динамики называется средним абсолютным приростом.

Средний абсолютный прирост у определяется так: сумма цепных абсолютных приростов (у n ) делится на их число (n):

Средний абсолютный прирост также может определяться по абсолютным рядам динамики, для этого определяется разность между конечным у п и базисным у 0 уровнями изучаемого периода, которая делится на m – 1 субпериодов.

Показатель среднего абсолютного прироста определяют по формуле:

Средний темп роста (Т р ) – это индивидуальные темпы роста ряда динамики, которые имеют обобщающую характеристику, ее формула:

Средний темп роста, который определяется по абсолютным уровням динамики, выглядит следующим образом:

На основе взаимосвязи между базисными и цепными темпами роста средний темп роста определяем по формуле:

Средний темп прироста Т п находится на основании взаимосвязи между темпами роста и прироста. Если существуют сведения о средних темпах роста Т, то для получения средних темпов прироста Тп используется зависимость.

Ряды динамики - это ряды статистических показателей, характеризующих развитие явлений природы и общества во времени. Публикуемые Госкомстатом России статистические сборники содержат большое количество рядов динамики в табличной форме. Ряды динамики позволяют выявить закономерности развития изучаемых явлений.

Ряды динамики содержат два вида показателей. Показатели времени (годы, кварталы, месяцы и др.) или моменты времени (на начало года, на начало каждого месяца и т.п.). Показатели уровней ряда . Показатели уровней рядов динамики могут быть выражены абсолютными величинами (производство продукта в тоннах или рублях), относительными величинами (удельный вес городского населения в %) и средними величинами (средняя заработная плата работников отрасли по годам и т. п.). В табличной форме ряд динамики содержит два столбца или две строки.

Правильное построение рядов динамики предполагает выполнение ряда требований:

1. все показатели ряда динамики должны быть научно обоснованными, достоверными;
2. показатели ряда динамики должны быть сопоставимы по времени, т.е. должны быть исчислены за одинаковые периоды времени или на одинаковые даты;
3. показатели ряда динамики должны быть сопоставимы по территории;
4. показатели ряда динамики должны быть сопоставимы по содержанию, т.е. исчислены по единой методологии, одинаковым способом;
5. показатели ряда динамики должны быть сопоставимы по кругу учитываемых хозяйств. Все показатели ряда динамики должны быть приведены в одних и тех же единицах измерения.

Статистические показатели могут характеризовать либо результаты изучаемого процесса за период времени, либо состояние изучаемого явления на определенный момент времени, т.е. показатели могут быть интервальными (периодическими) и моментными. Соответственно первоначально ряды динамики могут быть либо интервальными, либо моментными. Моментные ряды динамики в свою очередь могут быть с равными и неравными промежутками времени.

Первоначальные ряды динамики могут быть преобразованы в ряд средних величин и ряд относительных величин (цепной и базисный). Такие ряды динамики называют производными рядами динамики.

Методика расчета среднего уровня в рядах динамики различна, обусловлена видом ряда динамики. На примерах рассмотрим виды рядов динамики и формулы для расчета среднего уровня.

Интервальные ряды динамики

Уровни интервального ряда характеризуют результат изучаемого процесса за период времени: производство или реализация продукции (за год, квартал, месяц и др. периоды), число принятых на работу, число родившихся и.т.п. Уровни интервального ряда можно суммировать. При этом получаем такой же показатель за более длительные интервалы времени.

Средний уровень в интервальных рядах динамики () исчисляется по формуле средней арифметической простой:

• y - уровни ряда (y 1 , y 2 ,...,y n ),
• n - число периодов (число уровней ряда).

Рассмотрим методику расчета среднего уровня интервального ряда динамики на примере данных о продаже сахара в России.

	Продано сахара, тыс. тонн

Это среднегодовой объем реализации сахара населению России за 1994-1996 гг. Всего за три года было продано 8137 тыс.тонн сахара.

Моментные ряды динамики

Уровни моментных рядов динамики характеризуют состояние изучаемого явления на определенные моменты времени. Каждый последующий уровень включает в себя полностью или частично предыдущий показатель. Так, например, число работников на 1 апреля 1999 г. полностью или частично включает число работников на 1 марта.

Если сложить эти показатели, то получим повторный счет тех работников, которые работали в течение всего месяца. Полученная сумма экономического содержания не имеет, это расчетный показатель.

В моментных рядах динамики с равными интервалами времени средний уровень ряда исчисляется по формуле средней хронологической :

• y -уровни моментного ряда;
• n -число моментов (уровней ряда);
• n - 1 - число периодов времени (лет, кварталов, месяцев).

Рассмотрим методику такого расчета по следующим данным о списочной численности работников предприятия за 1 квартал.

	Число работников

Необходимо вычислить средний уровень ряда динамики, в данном примере - среднюю списочную численность работников предприятия:

Расчет выполнен по формуле средней хронологической. Средняя списочная численность работников предприятия за 1 квартал составила 155 человек. В знаменателе - 3 месяца в квартале, а в числителе (465) - это расчетное число, экономического содержания не имеет. В подавляющем числе экономических расчетов месяцы, независимо от числа календарных дней, считаются равными.

В моментных рядах динамики с неравными интервалами времени средний уровень ряда исчисляется по формуле средней арифметической взвешенной. В качестве весов средней принимается продолжительность времени (t- дни, месяцы). Выполним расчет по этой формуле.

Списочная численность работников предприятия за октябрь такова: на 1 октября - 200 человек, 7 октября принято 15 человек, 12 октября уволен 1 человек, 21 октября принято 10 человек и до конца месяца приема и увольнения работников не было. Эту информацию можно представить в следующем виде:

Число работников	Число дней (период времени)
	6 (с 1 по 6 включительно)
	5 (с 7 по 11 включительно)
	9 (с 12 по 20 включительно)
	11 (с 21 по 31 включительно)

При определении среднего уровня ряда надо учесть продолжительность периодов между датами, т. е. применять формулу средней арифметической взвешенной :

В данной формуле числитель () имеет экономическое содержание. В приведенном примере числитель (6665 человеко-дней) - это календарный фонд времени работников предприятия за октябрь. В знаменателе (31 день) - календарное число дней в месяце.

В тех случаях, когда имеем моментный ряд динамики с неравными интервалами времени, а конкретные даты изменения показателя неизвестны исследователю, то сначала надо вычислить среднюю величину () для каждого интервала времени по формуле средней арифметической простой, а затем вычислить средний уровень для всего ряда динамики, взвесив исчисленные средние величины продолжительностью соответствующего интервала времени . Формулы имеют следующий вид:

Рассмотренные выше ряды динамики состоят из абсолютных показателей, получаемых в результате статистических наблюдений. Построенные первоначально ряды динамики абсолютных показателей могут быть преобразованы в ряды производные: ряды средних величин и ряды относительных величин. Ряды относительных величин могут быть цепные (в % к предыдущему периоду) и базисные (в % к начальному периоду, принятому за базу сравнения - 100%). Расчет среднего уровня в производных рядах динамики выполняется по другим формулам.